いつも大変お世話になっております。
プリント配布からの問題です。
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p331_167.jpg
Lemma2.2 Suppose a function f defined on a compact set E satisfies a
Lipschitz condition with exponent γ. Then
(i) m_β(f(E))≦M^βm_α(E) if β=α/γ.  (ii)　dimf(E)≦1/γdimE.

についての質問です。
m_α^*(E):=lim_{ε→0}inf{Σ_{j=1}^∞ diam(E_j)^α;diam(E_j)<ε,E∪_{j=1}^∞E_j}
をα次元Hausdorff外測度と定義し,
EがBorel集合の時,m_α^*(E)をm_α(E)と書き,α次元Hausdorff測度と呼びます。
そして.m_β(E)=∞ (β<αの時), 0 (β>αの時),このαをEのHausdorff次元と呼びます。

それで(i)の証明は分かったのですがm_β(f(E))とどうして書けるのかが分かりません。
Eは今compact集合だと言ってあるのだからEはBorel集合(∵明らかにR^dはHausdorff空間なので命題「Hausdorff空間で
のcompact集合は閉集合」.よって閉集合はBorel集合)
m_α(E)は定義されている事は納得できるのですがf(E)はBorel集合かどうか分からないのにどうしてm_β(f(E))と書けるのでしょう
か?

あと,(ii)が分かりません。β<dimf(E)とするとm_β(E)=∞で(∵Hausdorff次元の定義),(i)よりm_α=∞も言える。
よってα=βγ<γdimf(E)
また,dimE<αとするとm_α=0て(i)よりm_β=0.
よってdimE<βγと書けるから1/γdimE<β
でこれからどうすればdimf(E)≦1/γdimE.が言えますでしょうか?

吉田京子