工繊大の塚本と申します.

In article <ab6fa902-24fc-4dba-aafa-a8a98da88492@j39g2000yqn.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p331_167.jpg
> Lemma2.2 Suppose a function f defined on a compact set E satisfies a
> Lipschitz condition with exponent γ. Then
> (i) m_β(f(E))≦M^βm_α(E) if β=α/γ.  (ii)　dimf(E)≦1/γdimE.
> 
> についての質問です。
> m_α^*(E)
> :=lim_{ε→0}inf{Σ_{j=1}^∞ diam(E_j)^α;diam(E_j)<ε,E∪_{j=1}^∞E_j}
> をα次元Hausdorff外測度と定義し,
> EがBorel集合の時,m_α^*(E)をm_α(E)と書き,α次元Hausdorff測度と呼びます。
> そして.m_β(E)=∞ (β<αの時), 0 (β>αの時),
> このαをEのHausdorff次元と呼びます。
> 
> それで(i)の証明は分かったのですが
> m_β(f(E))とどうして書けるのかが分かりません。
> Eは今compact集合だと言ってあるのだからEはBorel集合
> (∵明らかにR^dはHausdorff空間なので
>  命題「Hausdorff空間でのcompact集合は閉集合」.よって閉集合はBorel集合)
> m_α(E)は定義されている事は納得できるのですが
> f(E)はBorel集合かどうか分からないのにどうしてm_β(f(E))と書けるのでしょうか?

 Lipshitz condition with exponent γ を満たす写像 f は
連続写像です. 連続写像による compact 集合の像は compact です.
従って, f(E) は compact 集合です.

> あと,(ii)が分かりません。
> β<dimf(E)とするとm_β(E)=∞で(∵Hausdorff次元の定義),
> (i)よりm_α=∞も言える。
> よってα=βγ<γdimf(E)
> また,dimE<αとするとm_α=0て(i)よりm_β=0.
> よってdimE<βγと書けるから1/γdimE<β
> でこれからどうすればdimf(E)≦1/γdimE.が言えますでしょうか?

何だか筋道が不明確ですね. α を dim E < α なる実数と
すれば, β = α/γ について, m_β(f(E)) ≦ M^β m_α(E) = 0
ですから, dim(f(E)) ≦ β = α/γ. α は dim E < α であれば
任意ですから, dim(f(E)) ≦ (1/γ) dim E です.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp