いつも大変お世話になっております。

F⊂R^d be a set of Hausdorff dimension α and let m_α denote the α-
dimensional Hausdorff measure. Let each of the following statements as
TRUE or FALSE.

(a) If β>α,then m_β(F)>0.
(b) F is m_α-measurable.
(c) If f is m_α-measurable, then ∫_F f(x)dm_α<∞.
(d) If β<α, then m_β(F)=∞.

という問題についてです。

(a)はFALSEです。これはHausdorff次元の定義から明らかですね。

(b)はFALSEらしいのですが何故なのでしょうか?
Fがm_α-可測という事は
∀A⊂R^d,m^*_α(A)≧m^*_α(A∩F)+m^*_α(A∩F^c)を満たすという事ですよね。
これの反例はどのようなものがあるのでしょうか?

(c)はFALSEらしいのですがまずfがm_α-可測関数であるとは
∀r∈Rに対して,f^-1((r,∞))∈{F;∀A⊂R^d,m^*_α(A)≧m^*_α(A∩F)+m^*_α(A∩F^c)}が成り立つとい
う事でしょうか?
これからどのような反例のf(x)が挙げられますでしょうか?

(d)は今,dimF=αだというのだからHausdorffの次元の定義よりTRUEですね。

吉田京子