工繊大の塚本と申します.

In article <a04d0131-0046-4c2a-b899-b41b773fa19b@r3g2000vbp.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> F⊂R^d be a set of Hausdorff dimension α and let m_α denote the α-
> dimensional Hausdorff measure. Let each of the following statements as
> TRUE or FALSE.
> 
> (a) If β>α,then m_β(F)>0.
> (b) F is m_α-measurable.
> (c) If f is m_α-measurable, then ∫_F f(x)dm_α<∞.
> (d) If β<α, then m_β(F)=∞.
> 
> という問題についてです。
> 
> (a)はFALSEです。これはHausdorff次元の定義から明らかですね。
> 
> (b)はFALSEらしいのですが何故なのでしょうか?
> Fがm_α-可測という事は
> ∀A⊂R^d,m^*_α(A)≧m^*_α(A∩F)+m^*_α(A∩F^c)を満たすという事ですよね。

まあ, m_α は外測度なので, m^*_α と書かなくても良いでしょう.
その結果, m_α(A) = m_α(A∩F) + m_α(A＼F) となるということです.

> これの反例はどのようなものがあるのでしょうか?

 Borel 集合は m_α 可測ですから, やはり Lebesgue 可測でない
集合の例を使わないと難しいでしょう. R^1 での m_1 と
 Lebesgue 測度とは定数倍を除いて一致します.

有理数全体 Q の元 q の区間 [0, 1) の元 x への作用を
 q・x ≡ x + q  (mod Z) で定義し, Q/Z の [0, 1) への
作用の各軌道から1点ずつを集めた集合を F とすると,
 F は Lebesgue 可測でない集合でした.

 Hausdorff 外測度 m_1 について m_1(F) はどうなりますか.
 F の Hausdorff 次元はどうなりますか.

> (c)はFALSEらしいのですがまずfがm_α-可測関数であるとは
> ∀r∈Rに対して,f^-1((r,∞))
> ∈{F;∀A⊂R^d,m^*_α(A)≧m^*_α(A∩F)+m^*_α(A∩F^c)}が成り立つ
> という事でしょうか?
> これからどのような反例のf(x)が挙げられますでしょうか?

 Borel 関数であれば m_α 可測関数です. R^1 では
 ∫_F f(x) dm_1(x) = C ∫_F f(x) dx ですから,
直ぐに見つかるでしょう.

> (d)は今,dimF=αだというのだからHausdorffの次元の定義よりTRUEですね。

そうですね.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp