遅くなりまして申し訳ありません。
ご回答誠にありがとうございます。
すいません。あれから見直して考えておりましたがまだ解決できません。


X=A∪B,A∩B=φでCl(Y)=X⊃YでY=(A∩Y)∪(B∩Y)とすると
(A∩Y),(B∩Y)∈T_y (T_yはYの位相),且つ (A∩Y)∩(B∩Y)=φとなり,
Yは連結より A∩Y=φかB∩Y=φと言え,
仮にB∩Y=φとするとY⊂B^c…① (B^cはXでの閉集合).
まではわかります。

> Cl(X) というのを持ち出すのは, 閉包について何か
> 誤解されておりませんでしょうか.

Cl(Y)=Int(Y)∪Bd(Y)が閉包の定義ですよね。
Int(Y)={x∈X;∃U∈nbhd(x,X) such that U⊂Y}
Bd(Y)={x∈X;∀U∈nbhd(x,X) such that U∩Y≠φ,U∩Y^c≠φ}
(但し,nbhd(x,X)は点xのX内での近傍系)

Cl(Y)(=Int(Y)∪Bd(Y))⊂B^cである事をしめしてみます。
∀x∈Cl(Y)に対してx∈Int(Y)かx∈Bd(Y)
(i) x∈Int(Y)(⊂Y)なら内点の定義より∃U∈nbhd(x,X); U⊂Y
この時,x∈Yになっている。よって①よりx∈B^c
(ii) x∈Bd(Y)なら ∀U∈nbhd(x,X),U∩Y≠φ且つU∩Y^c≠φ.
それからx∈B^cにどうしても持っていけません。

どのようにできますでしょうか?