Chikakoと申します。大変お世話になってます。


Let {X_α}_α∈J be an indexed family of connected spaces;let X be the
product space
X=Π[α∈J]X_α
Let a=(a_α) be a fixed point of X.
(1) Given any finite subset K of J,let X_K denote the subspace of X
consisting of all points x=(x_α) such that x_α=a_α for α∈K^c.
Show that X_K is connected.
(2) Show that the union Y of the spaces X_K is connected.
(3) Show that X equals the closure of Y;conclude that X is connected.


{X_α}_α∈J (Jは添数集合)を連結空間の族とせよ。Xを直積空間X=Π[α∈J]X_αとし


a=(a_α)をXでの固定された点とせよ。
(1) 任意に与えられたJの有限部分集合Kに対し,
X_Kをx_α=a_α(但しα∈K^c)となるような全てのx=(x_α)からなるXの部分空間とせよ。


この時,X_Kは連結である事を示せ。
(2) X_Kらの和集合Y(つまり∪[k∈K]X_k)は連結である事を示せ。
(3) XはYの閉包に等しい事を示し,Xは連結である事を結論せよ。

と言う問題です。

(1)については
X_K={{x_α}∈2^X;∀α∈J＼K,x_α=a_α}です。でKは有限集合,J＼Kは無限集合だから

X_K=X_1×X_2×…X_n×{a_α1}×{a_α2}×… …①
と言う具合(可算とは限りませんが)に有限個のX_αと無限個の{a_α}から構成されますよね。
ここで選択公理より、
α∈J＼K なる α に対しては A_α = {a_α} となるようなのですが
何故ここで選択公理が必要なのかわかりません。
{a_α}は単集合なので選択関数も不要だと思うのですが、、いかがでしょうか?

X_Kの位相は直積位相T_kと書けますよね。
φ≠A,B∈T_k,  A∪B=X_KでA_α∪B_α=X_α (for ∀α∈K)
そしてたとえA_α={a_α},B_α=φ(for ∀α∈J＼K)であったとしても
各X_αは連結なので必ずA_α∩B_α≠φ(for ∀α∈K)となるのですね。
したがってA∩B≠φとなるのですね。

(2)については
Y=∪[J⊃Kは有限集合]X_Kですよね。
Yの位相はT_y:=σ(∪[J⊃Kは有限集合]X_K)
(但しσ(∪[J⊃Kは有限集合]X_K)は∪[J⊃Kは有限集合]X_Kから生成される位相)
と書ける。

A,B∈T_yでA∪B=YなるA,Bを採ると,
T_yの元は∪[J⊃Kは有限集合]X_Kの元は各T_kの元の有限個共通部分で任意個和集合の形になっていて
あるKについてX_K=A_K∪B_K (但しA_K,B_K∈T_k)となっていてこの時,X_Kは連結だからA_K∩B_K≠φ
よってA∩B≠φでYは連結。でいいのでしょうか?
(なんか簡単すぎ?)

(3)については
Xの任意の点の任意の近傍はYと交叉する事を言えばいいのですよね。
でもx∈X＼{(a_α)}を採ってもこの任意の近傍がYと交叉する事はどうすれば言えますでしょうか?