ご回答誠に有難うございます。

>> 任意の集合aに対して無限降下列(a∋a_1∋a_2∋…)は
>>存在しない事を示せ。にあくせくしてます。
> それは基礎の公理(正則性の公理)により排除される訳です.

正則性の公理とは
A≠{B;∀x,¬(x∈B)} → ∃C∈A;{y;∀D∈{A,C},y∈D} = {B;∀x,¬(x∈B)}
つまり,
任意のA≠φなる集合に対してC∩A=φなるC∈Aが存在する。
ですよね。

>> a∋φなので
> どうしてでしょう.

すいません。a⊃φの間違いでした。
でもa⊃φだからと言って,証明が解決した訳ではないのですが。

> 又, それは次のことを導きますか.
>> a=a_1∋a_2なる集合aが存在する。

いえ,導かないと思います。

> 背理法で示すなら, ある a を起点とする無限降下列の
> 存在を仮定するのです.
> a = a_1 である { a_n }_{n=1}^\infty が存在して
> a_{n+1} が a_n の元であるようなものがあるとするわけです.

a_n∋a_{n+1}ですね。

>> 次にa=a_1∋a_2∋…∋a_n (但し,n>2)なる集合a_nが
>> 存在すると仮定すると、、、、???
>> でこれから一体全体どうすればいいのでしょうか?
> X = { a = a_1, a_2, ... , a_n , ... }
> という集合を考えると, 基礎の公理に反する存在となってしまいます.

X≠φだが任意のa_i∈Xに対してもa_i∩X≠φなので(∵a_{i+1}∈a_iかつa_{i+1}∈X)、
上記のようなCが取れませんね。

よって矛盾なのですね。

ところで
http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_pro_a101.htm
というのを見かけました。
ウルトラ冪とは
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/misc/def_of_ultra_power.JPG
という定義のようです。
ウルトラ冪から一体どのようにして集合の無限降下列を作ればいいのでしょうか?