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一次元実数空間RでBorel集合EのHausdorff測度とLebesgue測度が等しい事の証明です。

lim_{ε→0}inf{Σ_{k=1}^∞ diam(F_k);diam(F_k)<ε,E⊂∪_{k=1}^∞
F_k}=inf{Σ_{k=1}^∞ |F_k|;E⊂∪_{k=1}^∞ F_k}
(diam(F_k):=sup{|x-y|;x,y∈F_k},|F_k|はR⊃F_kの体積(一次元なのでF_kの長さ)を表す)

まず,
F_kは任意の部分集合(任意の(開or閉or半)区間の可算個和集合)で閉集合とは限らないのでsup {|x-y|}=|x-y|とは言えないので
すよね?

それと
inf{Σ_{k=1}^∞ diam(F_k);diam(F_k)<ε,E⊂∪_{k=1}^∞ F_k}
と
inf{Σ_{k=1}^∞ |F_k|;E⊂∪_{k=1}^∞ F_k}
とでは前者は半径がε未満と限定されてたEの被覆F_kでの下限ですが
後者は任意のEの被覆の長さの下限ですから一般には
inf{Σ_{k=1}^∞ diam(F_k);diam(F_k)<ε,E⊂∪_{k=1}^∞ F_k}≧inf{Σ_{k=1}^∞
|F_k|;E⊂∪_{k=1}^∞ F_k}
となると思います。
それがlim_{ε→0}を付けると
lim_{ε→0}inf{Σ_{k=1}^∞ diam(F_k);diam(F_k)<ε,E⊂∪_{k=1}^∞
F_k}=inf{Σ_{k=1}^∞ |F_k|;E⊂∪_{k=1}^∞ F_k}
という風に等しくなるのはどうしてでしょうか?
ε→0の時,前者の被覆としての条件はより厳しくなるので等号成立が遠ざかると思うのですが…。

吉田京子