ご回答大変有難うございます。

>>と写すので,(1 5 4 3)(1 6)という巡回置換の積になろうかと思います。
> στ = (1 5 4 3)(2 6) ですね.

有難うございます。

>> これは(26)(54)(53)(15)という偶数個の互換の積になり,交代置換になりました。
>> これにτを施すと (26)(54)(53)(15)に2つの互換(26),(35)が付け加わるだけなので,
>> やはり偶数個の互換の積。 σを施しても同様に偶数個の互換の積。 よって巡回群
>> <σ,τ>は交代置換となっているので<σ,τ>⊂A_6で<σ,τ>≦A_6.
> 長いですね. σ, τ ∈ A_6 ですから, <σ, τ> ⊂ A_6 は当たり前.

そうでした。A_6は群をなすのでしたね。


>> (b)については 1 2 3 4 5 6 ↓β 5 6 1 3 4 2 ↓β 4 2 5 1 3 6 ↓β 3 6 4 5 1
>> 2 ↓β 1 2 3 4 5 6 となるので#<β>=4となりました。
> β = (1 5 4 3)(2 6) から order β = 4 は明らかです.

ああ,(1 5 4 3)が4回で一周するのですね。

>> (c)については∀a∈A_6に対して,どうすればa<β>=<β>aが言えるのでしょうか?
>> A_6の元の個数は6!/2=360個もあるのですよね。
> A_6 の元は互換偶数個の積です. a を互換とするとき,
> a β a はどうなるか, a, b を互換とするとき,
> a b β b a はどうなるか, が分かれば十分でしょう.

「<β>がA_6の正規部分群なら,任意のA_6の元aに対し,a<β>a^-1⊂<β>を満たす」。そしてaが互換ならa=a^-1ですね。

> (1 2)(1 5 4 3)(2 6)(1 2) = (1 6)(2 5 4 3)
> (1 2)(3 4)(1 5 4 3)(2 6)(3 4)(1 2) = (1 6)(2 5 3 4)

ab∈A_6なのでabβ(ab)^-1=abβb^-1a^-1=abβba∈<β>かどうか調べればいいのですね。

> <β> に入っていますか?

<β>={id,(1 5 4 3)(2 6),(1 4)(3 5),(1 2 4 5)(2 6)}なのでabβba=(1 6)(2 5 3
4)は入っていませんね。
よって,<β>はA_6の正規部分群ではありませんね。

>> (d)については右類の個数はLagrangeの定理と(b)から,
>> #{a<β>;a∈S_6}=#S_6÷4=6!/4=6・5・3・4・1=180個と分かりましたが,
>> 右類の元の個数はどのようにして求めればいいのでしょうか?
> それはいつでも <β> の元の個数と同じです.
> そうでなければ 6!/4 の計算はしないでしょう.

右類のサイズが<β>と同じ(4個)という事ですね。右類の個数は180個なのですね。

吉田京子