試験の採点なんかしていても、最初つけた点を何巡か見直しているうちに
変更するというのはままあります。これは点を甘くする場合も辛くする場合も
両方あるわけですが、今の場合はもちろん辛くするほうです。

M_SHIRAISHI wrote:
> dy：＝f'(x)・△x  と定義しているので、y＝f(x)＝x という〔特別な場合〕だと、
> f'(x)＝(x)'＝１であり、かつ（y＝x なのだから）dy＝dx が成立します。

これはやはりダメですね。
繰り返しになりますが、dx が未定義です。
代数的形式主義の立場をとって（正確には濫用して）、「y=x だから dy=dx」
というのは黙認できないではないですが（それが最初に述べたもの）、
それでも好意的に言って定義が拡張されてしまっています。

ところが一方でご本人は：
In <800c7853.0404070146.734bfe0d@posting.google.com>(7 Apr 2004 02:46:46 -0700)
> 定義は、dy:＝f'(x)・△x だけだ。

なんて力んじゃっているからにっちもさっちもいかなくなる。
典型的な自縄自縛ですね。単独ならまだお目こぼしに預かれたかもしれない
ところを、合わせ技で一本というところです。

これも繰り返しですが、上の定義の dy では y は従属変数です。
だから独立変数 x に対する dx は定義されていません。
それをムリヤリ従属変数と見なそうというのが『解析概論』の趣旨で、
それが「x それ自身を x の函数とみる」の意味です。
これが「ムリヤリ」であることは、続く部分にある
　「x が独立変数であるときには、上記の dx=Δx ということは、
　　あまりに細工が過ぎるようであるが...」
という高木自身の言葉にも表れています。
　# しかし当然ながら、「ムリヤリ」と「間違っている」は別問題です。

そして M_SHIRAISHI さんは一貫してこれが理解できていませんから、
y = x なんてものを持ち出したりするわけです。
x を独立変数のままにしておいては身動きがとれませんので、
天下りの dy=dx でごまかすことになる。
kounoike さん（鴻池さんでいいのかな？）が疑問に思われるのも当然のことです。

> 従って、この〔特別な場合〕に限り、dx＝dy＝(x)'・△x ＝△x となります。
> よって、（この〔特別な場合〕に限り！）dx＝△x が成立するってワケです。

したがってこれは議論が完全にひっくり返ってしまっています。
上は y = x のとき：
　　dy = Δx （これは定義通り）
　　dy = dx （M_SHIRAISHI 流天下り）
から dx=Δx を結論として導いてますが、前提と結論が逆で：
　　dy = Δx
　　dx = Δx　（これも定義から導ける）
から dy=dx が結論されるのです。
もっとも一般の場合の
　　dy = f'(x) dx
が直接示せますから、「y=x なら dy=dx」は単にその特別な場合にすぎません。

これを記した私の文：
In <c5h4vc$po2$1@hagi.cc.tsukuba.ac.jp>(Tue, 13 Apr 2004 16:37:00 +0000)
> 「x それ自身をx の函数とみれば」というのは、あえて書けば x=x となるけど、
> これでは恒等式と区別がつかないので補助変数を導入して：
> 　　x = x(t) = t
> 　　y = f(x) = f(t)
> と書きましょう。
> するとくだんの定義から
> 　　dx = x'(t)Δt = Δt
> 　　dy = f'(t)Δt
> 上を下に代入して
> 　　dy = f'(t)dx = f'(x)dx
> というだけのことですよ。

に M_SHIRAISHI さんはなぜかひたすら言及を避けていますね。
やはり全然理解できないのか、あるいはよほど都合が悪いんでしょう。

もっともこれについてはもっとひどい話もあります。
「M_SHIRAISHI の断末魔記事」から：
In <800c7853.0404141040.680c528@posting.google.com>(14 Apr 2004 11:40:06 -0700)
> で、ソチたちは、「恒等函数；f(x)＝x が、“x＝x”という恒等式で表わされる」
> と（愚かにも！）主張して、

ここまで来ると悪質な歪曲・捏造ですね。元をたどって：

In <800c7853.0404132335.bb21c42@posting.google.com>(14 Apr 2004 00:35:57 -0700)
> hiraga@ulis.ac.jp (Yuzuru Hiraga) stupidly wrote in message
news:<c5h4vc$po2$1@hagi.cc.tsukuba.ac.jp>...
>> 「x それ自身をx の函数とみれば」というのは、あえて書けば x=x となるけど
>
> 「定数項が０で“傾き”が１の≪一次函数≫が x＝x で表わされる」と言うのか！？！

先ほどの引用と見比べれば一目瞭然で、上の行に続く：
> これでは恒等式と区別がつかないので...

が（あるいは意図的に？）カットされてしまっているため、趣旨が正反対に
なってしまっています。こちらは「恒等式ではない」と言っているのですよ。
もっとも M_SHIRAISHI さんは方程式と（陽形式の）関数表記式の区別さえ
できないようだから説明するだけムダでしょうが。
　# その一方で恒等式を区別するのは首尾一貫性に欠けるね。

で、断末魔の続きを見ると：
> ## んじゃ〜、ここで、ひとつ、“x＝x”のグラフでも書いてみせろ！（爆笑＋嘲笑

簡単じゃん。
直線１本書いておしまい。
直線上の点で「変数値としての x」と「関数値としての x」が重なっている。
どうしても２次元で書きたいなら、「変数値としての x」を横軸に、
「関数値としての x」を縦軸にとって斜め45度の直線を引いておしまい。
それが x=x の意味でもあるんですがね。

そしてそれではわかりにくかろうと x=t の形にしてあげたのですが、
理解できないんじゃしょうがない。ここが話のキーポイントなんですがね。
「x それ自身を x の函数とみる」について：
　　M_SHIRAISHI 流：　y = x とおく
　　その他世間一般：　x = t とおく
変数の役割が逆になっていることが見て取れますね。

> “dy：＝f'(x)・△x”なる「定義」は、独立変数を x で表わし、従属変数を y
> で表わすという前提に立脚したものであるということが、ソチたちには、一向に、
> ワカランのか？（爆笑＋嘲笑

自分で書いたことの意味もわからないではね。
「従属変数 y」に対しての dy でしょ？
じゃ dx は何？

（平賀）