まとめてのリプライ。
# にしても、Subject 変えようよ。
# これでは M_SHIRAISHI さんが晒し者じゃない。 :-)

Yoshitaka Ikeda wrote:
>>>【問題】　単位（＝１）の長さの線分と、任意の長さ s の線分とか与えられているとき、
>>> ...
>>>π^2とか√πも描けるんですか?
>>>すみませんが、作図法をお教えください。
>>
>>任意に選んだ線分の長さが、たまたま、πであったときに、π^2や√πが作図
>>できる（定規とコンパスのみを使って！）だけの話です。　ヽ(＾。＾)ノ
> 
> SHIRAISHI氏ができると主張するのはわかってます。
> 可能か不可能かを問うているのではありません。
> 作図法を示せと言ってるだけです。
> 
> それは本当に有限手順内に実行できるのですか？

できますけど？
何か行き違いがあるようですが、問題では単位長 1 と s（今の場合π）が
所与であることに注意。
これは s=π 自身が（単位長だけを与えられて）作図可能かどうかとは別問題。
　# これはできない。

1, s があれば s^2 の作図はほとんど自明、√s はもうちょっとトリッキー
だけど、これもできます。一般には 1, s があれば、それへの加減乗除と
平方根で得られる数はすべて作図可能です。
まあ作図法自体は M_SHIRAISHI さんに示してもらいましょう。

Eiji KATSURA wrote:
> もちろん、放物線定規みたいのがあれば、ｓ^(1/3)は、(有限回で)
> 作図できる。

定規に目印をつけていいなら、その定規とコンパスだけで
３次・４次方程式も解けます。
　# すべてではないと思ったけど、不確か。方法は Vieta によります。
具体的には、倍積問題も角の３等分もできます。

> いまどきの高校生は、πが無理数であることくらいは普通に
> 証明してくれる。

そうかなあ。高校レベルでは難しいと思いますが。
πの無理性よりは簡単な e の無理性は、入試問題レベルでは見かけますね。
昨年の阪大とか。これも誘導があってやっと、という感じかな。
東大はこのところπに入れ込んでいるから、来年あたりπの無理性の証明が
出るかも。（今からツバつけとこ。）

それと超越性の証明は無理性の証明とは格段に違う。

# なお「高校生にもわかる作図不能問題」（特に倍積問題）は
# 別のところに書きました。
# http://rforum.rakuten.co.jp/?act=cattop&sid=2&cname=tokyo-shuppan
# の中の
# http://rforum.rakuten.co.jp/?act=viewmsg&cid=100081&fid=16105&mid=3717
# 続きの部分（定規とコンパスで作図できる条件）のところを
# まだ書いてないけど。
# まあネット検索しても、関連サイトは多数ありますね。

（平賀＠筑波大）