リー群Gの左不変なベクトル場X全体L(G)がリ-環になるところに
ついて教えてください。

[ f_*X, f_* Y ] = f_* [X,Y]　...(1)

が成立すれば X, Y ∈L(G)に対して[X, Y]∈L(G)が成立することは容易なので
(1)を確認したいのですがうまくできません。
まず[X, Y]fでのXfという表記ですが
θ∈D(C^r(M))：C^r(M) -> Rの被作用C^r(a)関数を{}で括ることにして
XをM上のベクトル場、f∈C^r(M)として
(Xf) (x) = X(x) {f}
により定義されるXf：M -> Rの関数でよろしいでしょうか？

fが逆を持つ時
f_* X (x) {g} = X (f^(-1)(x)) {g○f} = X○f^(-1) {g○f}(x)
なので
f_* X {g} = X○f^(-1) {g○f}...(2)
よってgに(1)を作用させると左辺は
[ f_*X, f_* Y ]{g}
=  f_*X{ f_* Y {g}}- f_*Y{ f_* X {g}}
=  f_*X{ Y○f^(-1) {g○f}}- f_*Y{  X○f^(-1) {g○f}}
= X○f^(-1){ Y○f^(-1)○f {g○f}}-Y○f^(-1){  X○f^(-1)○f {g○f}}
= X○f^(-1){ Y{g○f}}-Y○f^(-1){ X{g○f}}
一方右辺は
 f_* [X,Y] {g} =  [X,Y]○f^(-1) {g○f}
でうまくいかないように思います。(2)でのX○f^(-1) という表記が変だと思うので
ベクトル場の引き数を明示するとして
X(x){Yg}-Y(x){Xg} ....(3)
は求めることができても
X(x){Y(y){g}}-Y(x){X(y){g}}やX(x){Y(x){g}}-Y(x){X(x){g}}
はY(y){g}やY(x){g}がC^r(M)ではないので意味不明です。
そして(3)では同じことになってしまいます。
L_X Y (x) = lim_(t->0) {(exp-tX)^* Y(x)-Y(x)}/tを用いても同様です。
どうしたらよいでしょう？

柳楽＠生物系