いつもお世話になっております。

Theorem3.4の証明についての質問なのですが
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/P093.JPG
N=2とすると,ζ_2=exp(2πi/2)、そしてχは自明な群同型写像だというのだから
Z_2^×={1mod2}∋1mod2→χ(1mod2):=1∈C^×…(*)
と書けると思います。

この時,N＼{0}∋r:偶数 に於いて,
L(r,χ)=1/(r-1)!(-2πi/2)^r・1/2Σ_{a∈Z_2^×}χ(a)h_r(ζ_2^a)
=1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1)h_r(exp(2πi/2)^1)
=1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1)h_r(exp(2πi/2))
=1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1)h_r(exp(πi))
=1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1)h_r(cosπ+isinπ)) (∵Eulerの公式)
=1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1)h_r(-1)
=1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1) (r-1)!(-1/(2πi))^rΣ_{n∈Z}1/(1/2+n)^r (∵h_r(t)の
定義)
=χ(1)Σ_{n∈Z}1/(1/2+n)^r
=1・Σ_{n∈Z}1/(1/2+n)^r (∵χの定義(*))
=Σ_{n∈Z}1/(1/2+n)^r.
即ち, L(r,χ)=Σ_{n∈Z}1/(1/2+n)^r

一方、

L(s,χ)=Σ{n=1}^∞ χ(n)/n^s=χ(1)/1^s+χ(3)/3^s+χ(5)/5^s+…(∵χの定義(*))
Σ_{n=1,nは奇数}^∞ 1/n^s=ζ(s)-Σ_{n=1}^∞1/(2n)^s(∵ζ関数の定義)
=(1-1/2^s)ζ(s).
即ち,L(s,χ)=(1-1/2^s)ζ(s)

これらからどのようにしてζ(r)=1/(r-1)!・1/(2^r-1)・(2πi)^r ・h_r(-1)/2
に持っていけるのでしょうか?

吉田京子