工繊大の塚本と申します.

In article <2cbaa7f2-830c-45b0-9633-16f6d5c23cdd@f11g2000vbx.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> Theorem3.4の証明についての質問なのですが

岩波講座 現代数学の基礎「数論１」加藤和也・黒川信重・斎藤毅著
の第３章の定理 3.4 の証明については, 別 thread で議論しました.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/P093.JPG

定理 3.8 の証明の部分を問題にされているのでしょう.

> N=2とすると,ζ_2=exp(2πi/2)、そしてχは自明な群同型写像だというのだから
> Z_2^×={1mod2}∋1mod2→χ(1mod2):=1∈C^×…(*)
> と書けると思います。
> 
> この時,N〓{0}∋r:偶数 に於いて,
> L(r,χ)=1/(r-1)!(-2πi/2)^r・1/2Σ_{a∈Z_2^×}χ(a)h_r(ζ_2^a)

これは定理 3.4 ですね.

> =1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1)h_r(exp(2πi/2)^1)
> =1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1)h_r(exp(2πi/2))
> =1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1)h_r(exp(πi))
> =1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1)h_r(cosπ+isinπ)) (∵Eulerの公式)
> =1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1)h_r(-1)

 \chi(1) = 1 なのですから, これで

  L(r, \chi) = (1/(r-1)!) (- 2 \pi i / 2)^r (1/2) h_r(-1)

となるわけです. 次の

> =1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1) (r-1)!(-1/(2πi))^rΣ_{n∈Z}1/(1/2+n)^r

は　

> (∵h_r(t)の定義)

ではなくて, h_r(t) の命題 3.3 による書き直しを使っているわけで,
定理 3.8 の証明には関係ありません.

> =χ(1)Σ_{n∈Z}1/(1/2+n)^r
> =1・Σ_{n∈Z}1/(1/2+n)^r (∵χの定義(*))
> =Σ_{n∈Z}1/(1/2+n)^r.
> 即ち, L(r,χ)=Σ_{n∈Z}1/(1/2+n)^r

ここまで, 不要です.
 
> 一方、
> 
> L(s,χ)=Σ{n=1}^∞ χ(n)/n^s=χ(1)/1^s+χ(3)/3^s+χ(5)/5^s+…(∵χの定義(*))
> Σ_{n=1,nは奇数}^∞ 1/n^s=ζ(s)-Σ_{n=1}^∞1/(2n)^s(∵ζ関数の定義)
> =(1-1/2^s)龍(s).
> 即ち,L(s,χ)=(1-1/2^s)ζ(s)

そう, 特に, 正の偶数の r についても

  L(r, \chi) = (1 - 1/2^r) \zeta(r)

ですから,
 
> これらからどのようにしてζ(r)=1/(r-1)!・1/(2^r-1)・(2πi)^r ・h_r(-1)/2
> に持っていけるのでしょうか?

  L(r, \chi)
  = (1/(r-1)!) (- 2 \pi i / 2)^r (1/2) h_r(-1)
  = (1 - 1/2^r) \zeta(r)

より,

  \zeta(r)
  = (1 - 1/2^r)^{-1} L(r, \chi)
  = (1 - 1/2^r)^{-1} (1/(r-1)!) (- 2 \pi i / 2)^r (1/2) h_r(-1)
  = (2^r/(2^r - 1)) (1/(r-1)!) (-1)^r (2 \pi i)^r (1/2^r) (1/2) h_r(-1)
  = (1/(r-1)!) (1/(2^r-1)) (2 \pi i)^r (1/2) h_r(-1)

となります. # (-1)^r = 1 です.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp