ご回答大変ありがとうございます。

>> ∫[0..πi/2]f(z)dz=∫［y=0,π/2］(-v(0,y)+iu(0,y))dy と書けるのは何故でしょうか?
> 線積分の定義から明らかではありませんか.

f(z)を滑らかな曲線Cで定義された一価関数とし,
S_n:=Σ_{k=1}^n f(ξ_k)(z_k-z_{k-1})とし,max{|z_k-z_{k-1}|;k=1,2,…,n}→0とした時
の
S_nの極限が∫_C f(z)dzでf(z)のCに沿った線積分というのですよね。
つまりf(z)のCに沿ってできるカーテン部分の曲面の面積ですよね。

そうでした。今,∫[0..πi/2]f(z)dzは実軸方向へは全く動かず虚軸方向にしか動いていないので
∫[0..πi/2]f(z)dz=∫［y=0,π/2］(-v(0,y)+iu(0,y))dyと書けますね。

>> 積分範囲は実方向には0から0で虚方向には0からπi/2というのは分かるのですが
>> ∫[0..πi/2]f(z)dzの時,z=0ならx=y=0,z=πi/2ならx=0,y=π/2なので
>> ∫[0..πi/2]-v(0,y)+iu(0,u)d(x+iy) と書け
> z = 0 + iy  (y ∈ [0, π/2]) が積分路ですから,
> 書くなら d(0 + iy) ですね.
> 中身は u(0, y) + i v(0, y) です.

ああ,これはありがとうございます。

>> これからどうして ∫［y=0,π/2］(-v(0,y)+iu(0,y))dy と変数変換できるのでしょうか?
>> dz=?dyはどのように書けますでしょうか?
>  ∫_0^{π/2} (u(0, y) + i v(0, y)) d(0 + iy)
>  = ∫_0^{π/2} (u(0, y) + i v(0, y)) i dy

なるほど。d(0+iy)/dy=iなのでd(0+iy)=idyとなりますね。

吉田京子