Re: N∋rが偶数の時,等式　ζ(1-r)=2(r-1)!ζ(r)/(2πi)^rの証明

工繊大の塚本です.

In article <k1ret2$n2c$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop212__01.jpg
> となったのですがどうしてπ^{1/2}=Γ(1/2)が成立つのでしょうか?

 \Gamma(1/2) = \int_0^\infty x^{1/2 - 1} \exp(-x) dx
において, x = t^2 と変数変換すれば,
 \Gamma(1/2) = 2 \int_0^\infty \exp(-t^2) dt
となります. 後は重積分の変数変換を用いて,
 (\int_0^\infty \exp(-t^2) dt)^2
  = \int\int_{x \geq 0, y \geq 0} \exp(-x^2) \exp(-y^2) dx dy
  = \int\int_{r \geq 0, 0 \leq \theta \leq \pi/2} \exp(-r^2) r dr d\theta
  = (\pi/2) [- (1/2) \exp(-r^2)]_0^\infty
  = \pi/4
と計算すれば, \Gamma(1/2) = \pi^{1/2} が分かります.

> Prop211.5を使おうにもProp211.5でのnは1以上の自然数なので,
> π^{1/2}Γ(0)ζ(0)/ζ(1)が計算できずにおります。 

 \hat{\zeta}(1-s) = \hat{\zeta}(s) は任意の s で成立しますから,
 \pi^{-(1-s)/2} \Gamma((1-s)/2) \zeta(1-s) = \pi^{-s/2} \Gamma(s/2) \zeta(s)
即ち,
 \zeta(1-s) = \pi^{1/2 - s} (\Gamma(s/2)/\Gamma((1-s)/2)) \zeta(s)
も任意の s で成立するわけです.
 \zeta(0) と \lim_{s \to 0} (\zeta(1-s)/\Gamma(s/2)) が分かれば,
それから \Gamma(1/2) = \pi^{1/2} も分かるでしょう.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp