工繊大の塚本と申します.

In article <k0eodi$448$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 数論1の第3章§3.3の(d)の関数等式,p103の上から9行目の
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop208__01.jpg
> を帰納法で示していますが,出だしから躓いています。
> どのようにして2(2-1)!ζ(2)/(2πi)^2が出てくるのでしょうか?

どうして帰納法なのでしょうか.

  \hat{\zeta}(s) = \pi^{-s/2} \Gamma(s/2) \zeta(s)

について \hat{\zeta}(1-s) = \hat{\zeta}(s) なので,

  \pi^{-(1-s)/2} \Gamma((1-s)/2) \zeta(1-s) = \pi^{-s/2} \Gamma(s/2) \zeta(s)

つまり,

  \zeta(1-s) = \pi^{1/2 - s} (\Gamma(s/2)/\Gamma((1-s)/2)) \zeta(s)

が成立することを認めれば,

  \zeta(1-2n) = \pi^{1/2 - 2n} (\Gamma(n)/\Gamma(1/2 - n)) \zeta(2n)

であり,

  \pi^{1/2} = \Gamma(1/2)
   = (1/2 - 1) \Gamma(1/2 - 1)
   = (1/2 - 1)(1/2 - 2) \Gamma(1/2 - 2)
   = (1/2 - 1)(1/2 - 2) \cdots (1/2 - n) \Gamma(1/2 - n)
   = (-1)^n ((2n-1)!!/2^n) \Gamma(1/2 - n)

ですから,

  \zeta(1-2n) = \pi^{-2n} (n-1)! (-1)^n ((2n-1)!!/2^n) \zeta(2n)
   = \pi^{-2n} ((2n-2)!!/2^{n-1}) (-1)^n ((2n-1)!!/2^n) \zeta(2n)
   = 2 ((2n-1)!/(2 \pi i)^2n) \zeta(2n)

となるわけです.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp