p^{a}m-i を割り切るpのべきについて、mがpのべきを含むことも含めて自由なものですから
もしかしたら p^{a}またはこれを超えるpのべきでも割り切れることがあるのではないか、
と思ってしまったことが迷走の原因だったことが判明しました。

p^{a}m-i を割り切るpのべきも p^{a}を超えることはない、ということだったのですね。

ありがとうございました。