A = BｔanΘ ＋ C / cosΘ

もっと複雑なものでも解けるいい方法は、
そもそも三角関数の意味が
( sinΘ )^２ ＋ ( cosΘ )^２ = １
という関係に凝縮されていることから
話は始まります。
上の関係は、円を表す代数関係で
これによって、問題のような式は
２次方程式のような代数方程式とまるっきり同じ
ものになってしまいます

円の式の両辺を( cosΘ )^２で割ると
( ｔanΘ )^２ +  １ = 1 / (  cosΘ )^２
また、問題の式は 
１/ C( A - BｔanΘ ) =  １ / cosΘ なので
両辺を２乗すると円のから出た式につながって

( ｔanΘ )^２ + １ =( １/ C(A - BｔanΘ ) ) ^２
 が得られます

このままでは見にくいので  ｔanΘ  =  x
と書いてみると

x^２ +  １ = ( １/ C( A - Bx ) ) ^２

C^２( x^２+１) = A^２ - ２ABx + B^２x^２
になって結局
(  B^２ - C^２ ) x^２ -２ABx + A^２ = ０ 
という２次方程式になってしまいます。

この答えは、
 x =  ( 1/(  B^２ - C^２ ) )( AB 
    ＋−√ ( ( AB )^２ − A^２(  B^２ - C^２ ) )

 x =  ( 1/(  B^２ - C^２ ) )( AB＋−√ ( ( AC )^２ )

 =  ( 1/(  B^２ - C^２ ) )( AB＋−| AC| )

ここで、AB = |AB|△とすると
 = ( 1/(  |B|＋|C| )( |B|ー |C| ) )|A|( |B|△＋−| C| )

=  |A|( |B|△＋−| C| )( 1/(  |B|＋|C| )( |B|ー|C| ) )

 AB＞０の場合
=  |A| / ( |B|ー|C| )  または  |A| / ( |B|＋|C| )

 AB＜０の場合
 = ー |A| / ( |B|ー |C| )  または ー |A| / ( |B|＋ |C| )

なので結局 

x = △ |A| / ( |B|ー|C| )  または △ |A| / ( |B|＋|C| )

ここからは、検証段階で、可能な答えのうち生き残りの調査です。

問題の ｔanΘは、
ー∞< ｔanΘ ＜＋∞の間の値はなんでも可能なので
 | cosΘ | ≦ 1
によって答えに制限がかかるのを具体的に検証します。
この条件を超える値の組み合わせでは、Θ が虚数になってしまいます

| C |/| A - BｔanΘ | ≦ １から
答えは、|A - BｔanΘ |≧| C
|という不等式をクリヤしなければなりません
ｔanΘ  =  x でしたから
x = △ |A| / ( |B| ー  |C| )  の場合
| A - BｔanΘ | = |A| | １ ー △ |B| / ( |B|ー|C| )  | 
 ＝  |A|  | ( |B|ー △ |B|ー |C| ) / ( |B|ー |C| ) |
 ＝  |A| | ( １ー △ ー ▲ ) / (  １ー▲ ) |
            但し ▲ ＝  |C| /  |B| 
x = △ |A| / ( |B| ＋  |C| )  の場合
| A - BｔanΘ | = |A| ( １ ー △ |B| / ( |B|＋ |C| )  ) 
 ＝  |A| | ( |B|ー △ |B| ＋ |C| ) / ( |B| ＋ |C| ) |
 ＝  |A| | ( １ー △ ＋ ▲ ) / (   １＋▲ ) |

こうして、△ = １の場合
| A - BｔanΘ |=ー▲ |A|  / ( １ー▲)  =  |A|  / ( ▼ー１ )

          但し▼  ＝  |B| /  |C| 
 =  |C| (  |A|  / (  |B|ー |C| ) になって
不等式は、
|A| ≧ |B| ー  |C|  
または、
|A| ≧ |B| ＋  |C| になります
それぞれの不等式が成り立つ条件下で、それぞれ
Θ =  arctan  (  |A| / ( |B|ー |C| ) )
 または 
Θ = arctan  (   |A| / ( |B|＋ |C| )  )
ですからどちらの場合も
Θ ≧ ４５° の範囲に答えがあることも分かります。

また、△ = ー１の場合
| A - BｔanΘ | = |A| | ( ２ ー ▲ ) / ( １ー▲ ) |
        但し ▲ ＝  |C| /  |B| 
不等式は、 |A|  |  ２ ー ▲ |  ≧  |C|  | １ー ▲ |
  |A|  | ２ |B|ー |C|  |  ≧  |C|  |  |B| ー  |C| |
  |A|  | ２ |B|  /  |C| ー１ |  ≧ |  |B| ー  |C|  |  
または、 
  |A|  | ２ |B| /  |C|  ＋ １  |  ≧ |  |B| ＋ |C|   |  
それぞれの不等式が成り立つ条件下で、それぞれ
Θ =  arctan  ( |A| / ( |B|ー |C| ) )
 または 
Θ = arctan  ( |A| / ( |B|＋ |C| ) )
ですからどちらの場合も 
０＜ ２ |B| /  |C| ＜＋∞ で
０＜１ /  | ２ |B| /  |C| ＋１ | ＜１の場合と
０＜１ /  | ２ |B| /  |C| ー１ | ＜+∞
の場合がありますが
結局、 |B| /  |C| → ＋∞ での特性から
Θ ≧ ０° の範囲に答えがあることが分かります。

さらに、Θ = ーθ＜０ の場合も
検討しなくてはなりませんが
それは、 
 A = BｔanΘ ＋ C / cosΘ ＝−Btanθ ＋ C / cosθ なので
以上すべての話で B を −B に置き換えればいいのですが
結果を見るとBは絶対値を通してしか影響しないので

θ にたいする結果は同じ
ということは、Θ = ーθ なので

最終的に

AB ＞０の場合
Θ≧４５° または Θ≦ー４５° に答えがあり
その時、A,B,Cに制限がかかって
 |A| ≧ |B| ー  |C|  または、 |A| ≧ |B| ＋  |C|
でないとダメ
AB ＜０の場合 Θの値はすべての値を取り得て
A,B,Cは何でもよい
そして答えは、
Θ =  arctan  (  |A| / ( |B|ー |C| )  )
または
Θ = arctan  (   |A| / ( |B|＋  C| )  )

とどめの条件として
 AB = ０ の場合もありますが
この場合、問題そのもののレベルが簡単になっちゃいますので・・・