hiko800 です。

集合X
が元の個数がｎ個の有限集合のときは、XからXへの全単射は
すなわちｎ個の元の置換です。

で、ｎを５とし、もとの置換を恒等置換として、２、３の置換で
実験してみるとどうやら高々５回同じ置換を施すともとの恒等
置換に戻るようです。

有限集合上で考えられたくだんの群は、このようにしてその同じ
写像を有限回繰り返して施すことによって、もとの何もしていない
状況に等しくなる、という性質を持つようです。（きちんと
論証できないのがちと悔しいですが）

そこで、何かある運動とか作用とかでもとのものと重ね合わせる
ことができるとき、それを一般に「対称」という用語で表現している
ようですから、それで「対象群」なのでしょうか。

無限集合のときは、全単射ということから、素朴に拡大解釈して
対称群と呼んでいるということなのかな。できあがった教科書では
無限集合で対称群という名称が与えられ、そのあとで有限集合の場合は
特に（ｎ次）対称群という、という具合に記述されることが多いよう
ですが、それは出来上がったあとのハナシで、名前の由来は多分
有限集合で対称群と呼んでいたものが無限集合にも拡張されていった
ということなのではないか、と想像します。

神戸＠福岡仮住まい
さんの記事にヒントを得て、自分なりに
納得できそうです。

ありがとうございました。