工繊大の塚本です.

In article <24f5c11d-a207-4626-abb4-1470c0d65fb5@v12g2000vbh.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/D1D2theorem.JPG
> という風にしてみました。
> 確かにs=0の時は(e_1+1)(e_2+1)…(e_r+1)ですが
> 条件とて"if f_1,f_2,…,f_s are all even"と書かれてます。
> s=0の時はf_1,f_2,…,f_sが全て偶数かどうかは不明なので
> 上段の条件は"if s=0 or f_1,f_2,…,f_s are all even"と
> 記すべきだと思うのですが如何でしょうか?

 s = 0 の場合には f_1, f_2, ... , f_s らはそもそも
存在しないので, 存在しないものについての言明は何でも真,
とする慣習にしたがっているのでしょうが, 分かりやすくは
そうすれば良いでしょう.

> そして取り敢えず
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/D1D2theorem0.JPG
> のように(ii)で仮定してみました。

帰納法の仮定は, N の素因数分解に現れる素数の中で
 mod 4 で 3 となるものの種類が s (≧ 0) 個である場合について,

  D_1 - D_3
  = \prod_{i=1}^r (e_i + 1)  (if f_1, f_2, ... , f_s are all even)
    0                        (otherwise)

ですね.

> その時,(iii)はどのように書けますでしょうか?

 N の素因数分解に現れる素数の中で mod 4 で 3 となる
ものの種類が s + 1 個である場合についても

  D_1 - D_3
  = \prod_{i=1}^r (e_i + 1)  (if f_1, f_2, ... , f_s are all even)
    0                        (otherwise)

が成立することを示すことになります.
 
> あと,何故f_1,f_2,…,f_sが全て偶数なら,
> どのΠ_{j=1..s'}q_j^{f'_j} (但し,0≦f'_j≦f_j, j=1,2,…,s'≦s)も
> Nを割り切れないのでしょうか?

どこにもそんなことは書いてないと思いますが.
勿論, それらは N を割り切ります.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp