工繊大の塚本です.

基本的なところが問題ですか.

In article <6babeb6f-1b76-473f-8df1-334b12c23c25@j8g2000yqd.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 最後の
> φ_m(u)~Σ_{b_a=0}^{m-1}φ_m(b_a u)ζ_m^{b_a u} (掛ける)
> φ_m(t)~Σ_{c_a=0}^{n-1}φ_n(c_a t)ζ_n^{c_a t} から
> φ_m(u)~φ_n(t)~ GS(φ_m,m,ζ_m) GS(φ_n,n,ζ_n) と
> 書けるのがどうしてもわかりません。

最大公約数 (b_a, m) が 1 でなければ (b_a u, m) も 1 でなく,
 φ_m(b_a u) = 0 ですから,
 b_a = 0 から m-1 までの和というのは, 実は,
 m と互いに素な b_a だけについての和です.
この和は m と互いに素な整数の mod m での類の為す
乗法群 (Z/mZ)^× 上での和と考えても良い.
つまり, Σ_{b_a=0}^{m-1} φ_m(b_a u) ζ_m^{b_a u} は
 Σ_{[g] ∈ (Z/mZ)^×} φ_m(g u) ζ_m^{g u} と書けます.

念の為に注意すれば, φ_m は法 m での Dirichlet 指標であり,
 ζ_m は 1 の m 乗根ですから,
 [g_1] = [g_2], つまり g_1 = g_2 + k m であれば,
 φ_m(g_1) = φ_m(g_2), ζ_m^{g_1} = ζ_m^{g_2} です.
 [g_1 u] = [g_2 u] であることにも注意しましょう.

さて, (u, m) = 1, つまり, [u] ∈ (Z/mZ)^× であれば,
 [u] を掛けることによる (Z/mZ)^× からそれ自身への写像
 M_[u] : (Z/mZ)^× → (Z/mZ)^×, M_[u]([g]) = [g u] は
全単射です. [g] が (Z/mZ)^× の全体を動く時,
 [g u] も (Z/mZ)^× の全体をちょうど動きます.

従って, Σ_{[g] ∈ (Z/mZ)^×} φ_m(g u) ζ_m^{g u} は
 Σ_{[g] ∈ (Z/mZ)^×} φ_m(g) ζ_m^{g} と同じです.
どちらも GS(φ_m,m,ζ_m) を表すことになります.

> もし
> φ_m(u)~Σ_{b_au=0}^{m-1}φ_m(b_a u)ζ_m^{b_a u} (掛ける)
> φ_m(t)~Σ_{c_at=0}^{n-1}φ_n(c_a t)ζ_n^{c_a t} なら
> GSの定義から直ぐさま
> φ_m(u)~φ_n(t)~ GS(φ_m,m,ζ_m) GS(φ_n,n,ζ_n) と
> 書ける事はわかりますが。。。
> 
> どこか勘違いしてますでしょうか?

 b_a u が 0 から m-1 まで動くというのはどういうことか,
はっきりしませんね. 書き方には注意しましょう.

この辺りのところは (Z/mZ)^× という有限群についての話だ
ということを意識すると, 少し分かりやすくなります.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp