工繊大の塚本です.

In article <a5cc9278-354e-4b21-8ff9-08337af42df1@13g2000prl.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <090724191029.M0229121@cs2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> >  Res_{z=πi} (z - sinh(z))/(z^2 sinh(z))
> >  = lim_{z→πi} (z - πi)(z - sinh(z))/(z^2 sinh(z))
> 
> すいません。このように書けるという事は
> (z-sinh(z))/(z^2sinh(z))はz=πiで一位の極を持つという事を意味していますよね。

実際, lim_{z→πi} (z - πi)(z - sinh(z))/(z^2 sinh(z))
を計算したら, 有限確定値を持ったわけですから,
その通りです.

> 「lim_{z→πi} sinh(z)/(z - πi)
>   = lim_{z→πi} (sinh(z) - sinh(πi))/(z - πi)
>   = (sinh(z))'|_{z = πi}
>   = cosh(πi)
>   = -1」
> からどうして一位の極が分かるのでしょうか?

それを使うと, lim_{z→πi} (z - πi)(z - sinh(z))/(z^2 sinh(z))
の値が有限確定であったからですね.

> (z-sinh(z))/(z^2sinh(z))はz=πiで一位の極を持つ事を知る為には
> [(z-sinh(z))/(z^2sinh(z))]/(z-πi)のz=πiでの微分可能性
> (つまりlim_{z→πi}[(z-sinh(z))/(z^2sinh(z))]/(z-πi)が収束する事)
> を示さないといけませんよね。

又間違えていますね. (z - πi)[(z - sinh(z))/(z^2 sinh(z))]
が z = πi の近傍で正則な関数に拡張されることを示すことが,
 (z - sinh(z))/(z^2 sinh(z)) が z = πi で一位の極を
持つことを示すことになるのです.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp