ご回答大変ありがとうございます。

> sinh(z) を z = 0 の周りで展開しても駄目です.
> 必要なのは z = πi の周りでの展開です.
> sinh(πi) = (e^{πi} - e^{-πi})/2 = ((-1) - (-1))/2 = 0
> ですから,
>  lim_{z→πi} sinh(z)/(z - πi)
>  = lim_{z→πi} (sinh(z) - sinh(πi))/(z - πi)
>  = (sinh(z))'|_{z = πi}
>  = cosh(πi)
>  = -1

なるほど。z=πiでの微分係数になるのですね。これはまったく気づきませんでした。

>  sinh(z) = (-1)(z - πi) + (1/2)sinh''(πi)(z - πi)^2 + …
> であることからも分かりますね.

sinh(z)=Σ_{k=1}^r (sinh^(k)(πi))(z-πi)^k/k!
=sinh(πi)(z-π)^0/0!+sinh'(πi)(z-πi)/1!+sinh''(πi)(z-πi)^2/2!+…
=sinh(πi)+sinh'(πi)(z-πi)/1!+sinh''(πi)(z-πi)^2/2!+…
だから
lim_{z→πi}sinh(z)/(z-πi)=lim_{z→πi}(sinh(πi)/(z-πi)+sinh'(πi)/1!
+sinh''(πi)(z-πi)^1/2!+…)
=lim_{z→πi}(0+sinh'(πi)/1!+sinh''(πi)(z-πi)^1/2!+…)
=lim_{z→πi}(0+(-1)/1!+sinh''(πi)(z-πi)^1/2!+…)
=-1
となりますね。確かに。

> 展開が分かれば, 計算も出来るでしょう.

すっすいません。
Res_{z=πi}(z-sinh(z))/(z^2sinh(z))からどうすればいいのでしょうか?