工繊大の塚本です.

In article <10613ce2-36f2-48ad-89c1-4cf58931bf30@v23g2000pro.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 所で,P_mが必ず固有値を持つという保障はあるのでしょうか?

 P_m(P_m - I) = 0 ですから, 固有値 α を持つとすれば
 α = 0, 1 であり, α = 0 が固有値になるかというと,
 Ker P_m ≠ { 0 } が Im P_m が真部分空間になることから
保証されますから, 肯定的ですが,
 α = 1 が固有値になるかというと,
 Ker (P_m - I) = Im P_m = { 0 } となる場合として,
 P_m = 0 という場合がありますから,
それは場合によります.

一般に, 線形変換 P_m を考えて,
 P_m = 0 でなく, P_m = I でなく, P_m(P_m - I) = 0 であれば,
 P_m の固有値は 0 と 1 であり,
 P_m は対角化可能になります.

> 必ずVの正規直交基底がMとM^⊥内に取れる理由を述べたつもりでしたが。。

「必ず」というのは何処に係るのですか.
 V の正規直交基底で, それを構成するベクトルが,
 M にも M^⊥ にも入らないものはいくらでもあります.
 V の正規直交基底で, M の正規直交基底と
 M^⊥ の正規直交基底を合わせた形のものが
あることを言うのでなければなりません.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp