ご回答大変ありがとうございます。

>> [Q.] Let M be a proper subspace of an n-dimensional inner product space.
>> Calculate the determinant of the orthogonal projection P_m on M and
：
> つまり, P_m v = α v となるベクトル v ≠ 0 があれば,
> 0 = O v = P_m(P_m - I) v

I-P_mはVのM^⊥への直交射影ですからこのように書けますね。

> = α(α - 1) v
> となりますから, α = 0 または 1 であることが分かり,

ありがとうござます。このようにして簡単に求まりましたね。

> 固有値 0 に対応する固有空間は P_m の核 Ker P_m であり,

この時,固有方程式はP_mv=0(=0・v)となりますから,{v∈V;R_mv=0} = Ker P_m と書けますね。

> 固有値 1 に対応する固有空間は P_m の像 Im P_m である
> ことも直ぐに分かります.

これもP_m v=v(=1・v)ですから,{v∈V;P_m v=v} = Im P_m (∵P_mは射影)と書けますね。

> M = Im P_m が真部分空間であれば, dim Ker P_m > 0
> ですから,

もし,dimKerP_m=0 ならα=0は固有値はなり得ないので
(∵P_m v = 0 なる 0≠v∈Vは存在しない)

> det P_m = 0 も自明です.

dimKerP_m>0なら0≠∃v∈V;P_mv=0なので[P_m]の列ベクトルとは一次従属という事になり,dimP_m=0となりますね。

>> Mは真部分空間というので0≦dimM<dimV(=n) (但し,Vは題意の内積空間) よって,
>> (i) 0<dimMの時,Vの基底を{v_1,v_2,…,v_n}, Mの基底を{v_1,v_2,…,v_m},M^⊥の
>> 基底を{v_{m+1},v_{m+2},…,v_n} (但し,1<m<n) とすると
> V の基底としてそういう基底が取れることを認めれば,
> 以下の議論で結構だと思いますが,

えっ? 採らない場合もあるのでしょうか?
もし,∀i∈{1,2,…,n}に対し,v_i∈Mでないなら線形部分空間の定義により,M={0}でなければならない。
何故ならM≠{0}であるとするとv_i∈Mでなく,M≠{0}なら線形部分空間の定義から0≠∃x∈Mでxは一次独立で
v_1,v_2,…,v_n,xも一次独立でVの次元がnである事に反する。
従って,やはりM≠0ならば必ず∃i_0∈{1,2,…,n};v_{i_0}∈M
と示してみたのですがこれでは駄目でしょうか?

>> よって,det([P_m]-λI)=0として固有値を求めると =(1-λ)^m・(-λ)^{n-m} =0
>> より,λ=1(重複度m),0(重複度n-m)。
> これは det([P_m] - λI) = 0 の代数的な解の重複度を
> 求めただけですから, 固有空間の次元と一致することは
> 別に示す必要があるでしょう. 難しくはありませんが.

既に[P_m]=
[[I_m,O],
[ O , O]]
と表せたのですから[P_m]はn次単位行列(正則行列)I_nで対角化可能と言える。従って
[命題] 「[f]がある正則行列Aで対角化可能⇔dimS_{λ_i}=r_i(但し,S_{λ_i}は固有値λ_iに対する固有空間,r_iは
λ_iの代数的重複度)」
より,今λ=1(重複度m),λ=0(重複度n-m)より, dimS_0=m,dimS_1=n-m.で固有値の代数的重複度とその固有空間の次元は
一致しますね。

>> (ii) 0=dimMの時は表現行列はОなのでλ=0
>> となるかと思いますがこれで正しいでしょうか?
> 上の注意を除いては正しいですが,

上の注意とは
「Vの基底を{v_1,v_2,…,v_n},Mの基底を{v_1,v_2,…,v_m},M^⊥の基底を{v_{m+1},v_{m+2},
…,v_n} (但し,1<m<n)」
という風なVの基底が採れるという事ですね。

> 基底や表現行列を
> 使わない考え方にも慣れておかれた方が良いでしょう.

「( (P_m)^* = P_m, ) (P_m)^2 = P_m という線形変換が
与えられているならば,
：
ですから, det P_m = 0 も自明です. 」
という具合にすればいいのですね。