工繊大の塚本と申します.

In article <20247a1f-8e8f-458d-b83c-8b2a7b77be5b@y10g2000prf.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> [問] ∫_C 3z^3/((z^2-1)(4z^2-1))dz Cは|z-i|=3で時計回りとする。
> の積分値を求める問題です。

留数の定理の応用問題ですね.

  Res_{z=1}(3z^3/((z-1)(z+1)(4z^2-1))) = 3/(2×3) = 1/2
  Res_{z=-1}(3z^3/((z-1)(z+1)(4z^2-1))) = (-3)/(-2×3) = 1/2
  Res_{z=1/2}(3z^3/(4(z^2-1)(z-1/2)(z+1/2)) = (3/8)/(4×(-3/4)×1) = -1/8
  Res_{z=-1/2}(3z^3/(4(z^2-1)(z-1/2)(z+1/2)) = (-3/8)/(4×(-3/4)×(-1)) = -1/8

を使うのが簡単だと思います.

> 図は
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/complex_function/figure20090706.jpg
> のようになろうかと思います。

はい.

> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/complex_function/6b_first_20090706.jpg
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/complex_function/6b_second_20090706.jpg
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/complex_function/6b_third_20090706.jpg
> 
> のように4重連結領域に対するCauchyの積分定理と
> 周回積分の公式を利用して解きました。

部分分数展開するなら, 4重連結領域を考える必要は
ないだろうと思います.

> 最後に曲線Cは時計回りなので符号が負になるかと思います。

  3z^3/((z^2-1)(4z^2-1))
  = z((4z^2-1)-(z^2-1))/((z^2-1)(4z^2-1))
  = z/(z^2-1) - z/(4z^2-1)
  = (1/2)((z-1)+(z+1))/((z-1)(z+1)) - (1/4)((2z-1)+(2z+1))/((2z-1)(2z+1))
  = (1/2)/(z-1)+(1/2)/(z+1)-(1/4)/(2z-1)-(1/4)/(2z+1)

と簡単に部分分数展開できますから,
その方法で解いてもかまいませんが,
間違えないようにするには,

  = (1/2)/(z-1) + (1/2)/(z+1) - (1/8)/(z-1/2) - (1/8)/(z+1/2)

としておいたほうが良い.

> これで正しいでしょうか?

 z = a を正の向きに一周する閉曲線 C 上での積分
 ∫_C 1/(z - a) dz = 2πi ですが,
 ∫_C 1/(2z - 2a) dz は 2πi ではありません. πi です.

ということで, |z-i| = 3 を負の向きに一周する閉曲線を C とすれば,

  ∫_C 3z^3/((z^2-1)(4z^2-1)) dz
  = ∫_C {(1/2)/(z-1) + (1/2)/(z+1) - (1/8)(z-1/2) - (1/8)(z+1/2)} dz
  = - 2πi×{(1/2) + (1/2) - (1/8) - (1/8)}
  = - (3/2)πi

となります. 貴方の計算は正しくありません.

# 無限遠点で考える手もあります.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp