工繊大の塚本と申します.

In article <68f20417-b1ff-45e2-bdc2-7e07de94fa38@a39g2000pre.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> Res_{z=3}(z^4+1)/(z-3)^4を求めたいのですが

それなら (z^4 + 1)/(z - 3)^4 を z - 3 のベキに
展開するのです.

> Res_{z=3}(z^4+1)/(z-3)^4
> =Res_{z=3}(z^4+1)/(-1/3(1-z/3)^4)
> =Res_{z=3}-3(z^4+1)/(1-z/3)^4
> =Res_{z=3}-3(z^4+1)Σ_{k=0}^∞ (z/3)^4
> となりました。

 z のベキに展開しても意味がありません.

> ここから
> (z-3)のべき級数として表した時の-1次の項の係数が
> 求める留数になろうかと思います。

どうして一度遠ざかってから話を始めるのか,
理解できませんが,

> -3(z^4+1)Σ_{k=0}^∞ (z/3)^4を(z-3)のべき級数の形に変形しても
> -1次の項は明らかに現れないと分かるので

全然, 明らかではありません.

> Res_{z=3}-3(z^4+1)Σ_{k=0}^∞ (z/3)^4
> =Res_{z=3} 0/(z-3)+Σ_{k=0}^∞ a_k (z-3)^kと変形される。
> 
> 従って,
> 
> =0
> 
> という風に留数は0になったのですがこれで正しいでしょうか?

勿論, 正しくありません.

  z^4 + 1 = a_0 + a_1(z - 3) + a_2(z - 3)^2 + a_3(z - 3)^3 + a_4(z - 3)^4

と z - 3 のベキに展開すれば,

  (z^4 + 1)/(z - 3)^4
  = a_0(z - 3)^{-4} + a_1(z - 3)^{-3} + a_2(z - 3)^{-2} + a_3(z - 3)^{-1} + a_4

となりますから, a_3 を求めれば,
それが Res_{z=3} (z^4 + 1)/(z - 3)^4 です.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp