工繊大の塚本です.

In article <2d544e2a-2cd4-4914-be41-a338df05d30f@v2g2000vbb.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> すいません。どうして
> Res_{z=0} f(z) から lim_{z→0} z f(z) と書けるのでしょうか?

 f(z) が z = 0 を除く z = 0 の近傍で正則であり,
 z = 0 が f(z) の特異点であるとき,
 z = 0 は極であるか, 真性特異点であるか, ですが,
 z = 0 で f(z) が一位の極を持つとき,
 f(z) = a_{-1} (1/z) + a_0 + a_1 z + … + a_n z^n + …
という展開を持ちますから,
 z f(z) = a_{-1} + a_0 z + a_1 z^2 + … + a_n z^{n+1} + …
となり, lim_{z→0} z f(z) = a_{-1} = Res_{z=0} f(z) です.

もし, 二位以上の極であるか, 真性特異点であれば,
有限の極限 lim_{z→0} z f(z) は存在しません.

もし, z = 0 が f(z) の特異点でなければ,
 lim_{z→0} z f(z) = 0 = Res_{z=0} f(z) としても
間違いではありません.

ですから, 有限の極限 lim_{z→0} z f(z) が存在すれば,
 = Res_{z=0} f(z) として良いことになります.

> lim_{z→0} z f(z)=lim_{z→0} (z-0)f(z)と変形できるから
> 一位の極と言えるのですね。

「変形できるから」というのが何を意味しているのか
不明です.

> 二位の極だと
> lim_{z→0} z f(z)= 1/2! lim_{z→0} d/dz (z-0)^2f(z)と書けてないと
> いけないのですね。

いいえ. 勿論, 二位の極であれば, lim_{z→0} z f(z) = ∞
ですから, lim_{z→0} z f(z) では留数は計算できません.
 f(z) = a_{-2} (1/z^2) + a_{-1} (1/z) + a_0 + a_1 z + … + a_n z^n + …
とすれば, (d/dz) z^2 f(z)
 = (d/dz)(a_{-2} + a_{-1} z + a_0 z^2 + a_1 z^3 + … + a_n z^{n+2} + …)
 = a_{-1} + 2 a_0 z + 3 a_1 z^2 + … + (n+2) a_n z^{n+1} + …
ですから, Res_{z=0} f(z) = a_{-1} = lim_{z→0} (d/dz)(z^2 f(z))
です. 1/2! は要りません.
 
> すいません。
> lim_{z→0} z f(z)から先は
> 
> lim_{z→0} z f(z)
> =lim_{z→0} z (2z+5)/(exp(2z)-1)
> =lim_{z→0} (z-0) (2z+5)/(exp(2z)-1)
> 
> ここからどうして
> 
> =5/2
> が出てくるのでしょうか?

についての回答は,
 
> lim_{z→0} z f(z)からこのようになるのは分かりますがこれから
> 
> >  = 5/(lim_{z→0} (exp(2z) - 1)/z)
> 
> lim_{z→0} (exp(2z) - 1)/z=lim_{z→0} 2exp(2z)
>  (∵l'Hospitalの定理) =2と収束するので
> このように変形できますね。

で出ているではありませんか. 因みに,
 g(z) = exp(2z) に対して,
 lim_{z→0} (exp(2z) - 1)/z
 = lim_{z→0} (g(z) - g(0))/(z - 0)
 = g'(0) は「微分の定義」そのものです.

> しかし,2z[1+(2z)/2+(2z)^2/3!+・・・]からどうして
> 1/(exp(2z)-1)=(1-(2z)/2+・・・)/(2z)
> と書けるのかが分からなければ,
> (1-(2z)/2+・・・)+(5/(2z)-5/2+・・・)
> =1-z+…+5/2/(z-0)-5/2+… =5/2/(z-0)-3/2-z+…
> に持っていけずRes_{z=0}f(z)=5/2が求められないのではないでしょうか?

 exp(2z) - 1 = (2z)(1 + (2z)/2 + … + (2z)^n/(n+1)! + … )
 = (2z) h(z),  h(z) = 1 + (2z)/2 + … + (2z)^n/(n+1)! + … ,
さえ分かっていれば,
 1/h(z) = (1/h(0)) + (1/h(z))'|_{z=0} z + (1/2)((1/h(z))''|_{z=0}) z^2
          + … + (1/n!)(1/h(z))^{(n)}|_{z=0}) z^n + …
と Taylor 展開されることから,
 1/(exp(2z) - 1) = (1/(2z))(1/h(0) + (1/h(z))'|_{z=0} z + … )
 = (1/(2z))(1 + (1/h(z))'|_{z=0} z + … )
と書けるのは自明です. ここで,
 (1/h(z))'|_{z=0} = - h'(z)/(h(z))^2|_{z=0} = - h'(0)/((h(0))^2
 = -1 ですが, それは, 留数の計算では, 計算する必要がありません.

なお, (1 + (2z)/2 + … + (2z)^n/(n+1)! + … )^{-1}
 = a_0 + a_1 (2z) + a_2 (2z)^2 + … + a_n (2z)^n + …
を求めるには,
 1 = (1 + (2z)/2 + … + (2z)^n/(n+1)! + … )
     ×(a_0 + a_1 (2z) + a_2 (2z)^2 + … + a_n (2z)^n + … )
   = a_0 + (a_1 + a_0/2)(2z) + (a_2 + a_1/2 + a_0/3!)(2z)^2
     + … + (a_n + a_{n-1}/2 + … + a_{n-k}/(k+1)! + … + a_0/(n+1)!)(2z)^n
     + …
から, a_0 = 1, a_1 + a_0/2 = 0, a_2 + a_1/2 + a_0/3! = 0, …,
 a_n + a_{n-1}/2 + … + a_{n-k}/(k+1)! + … + a_0/(n+1)! = 0, …
を順次解けば良いことにも注意しておきましょう.
 
> すいません。ここがわかりません。
> どうして|z|<πでh(z)≠0なら1/h(z)は一価と言えるのでしょうか?

複素数の全体は体ですから,
 h(z) ≠ 0 なら 1/h(z) という複素数は一意に定まります.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp