いつも大変お世話になっております。

f(z):=(2z+5)/(exp(2z)-1)の時
留数 Res_{z=0}f(z)を求めたいですが

t:=exp(z)とするとz=0の時t=1で(2z+5)/(exp(2z)-1)=(2lnt+5)/(t^2-1)
そこでg(t):=2lnt+5はt=1で正則でg(1)=5≠0なので
Res_{z=0}f(z)=Res_{t=1}(2lnt+5)/(t^2-1)
=Res_{t=1}(2lnt+5)/((t+1)(t-1))
=Res_{t=1}(2lnt+5)/(t+1)/(t-1)
=lim_{t→1} (t-1) (2lnt+5)/(t^2-1)
=lim_{t→1} (2lnt+5)/(t+1)=5/2

としてみたのですが
lnは多価関数なのでt=exp(z)⇒z=lnt
とはできないようなのです(z=lntでは各zの値に対して,無限通りのtの値が考えられる)。

それで -π<arg(t)≦πなるtに対して,t=exp(z)と置くと断りを入れてから解けばいいのかと思いましたが
これでもダメなようなのです。
上記の解答をどのように訂正すればいいのでしょうか?

別の解法では
Res_{z=0}f(z)を求めるにはz=0が孤立特異点で
D:0<|z-0|<1でf(z)が一価関数で正則なら
(2z+5)/(exp(2z)-1)=(2z+5)(1-(2z)/2+・・・)/(2z)
=(1-(2z)/2+・・・)+(5/(2z)-5/2+・・・)
=1-z+…+5/2/(z-0)-5/2+…
=-3/2+5/2/(z-0)-z+…
とLaurent展開できるから
それでRes_{z=0}f(z)=Res_{z=0}(2z+5)/(exp(2z)-1)=Res_{z=0}(-3/2+5/2/(z-0)-z
+…)
=5/2
となるようなのですが

exp(2z)-1=2z+(2z)^2/2+(2z)^3/3!+・・・=2z[1+(2z)/2+(2z)^2/3!+・・・]からどうして
1/(exp(2z)-1)=(1-(2z)/2+・・・)/(2z)が言えるのかが分かりません。
どうしてなのでしょう?

そして,D:0<|z-0|<1でf(z)が一価となる事はどうすれば分かるのでしょうか?


吉田京子