工繊大の塚本です.

In article <001f0f7c-1775-4f34-baef-fd7eb34745a5@v28g2000hsv.googlegroups.com>
cchikakoo <cchikakoo@yahoo.co.jp> writes:
> ∪_{b∈B'} b = ∪_{β∈J'} ∩_{s∈S'_β} s (但しJ'⊂J)

いや, J' ⊂ J ではないのです. 開基の濃度は (一般には
 T_α の中で濃度最大のものの可算部分集合全体の濃度で)
 J の濃度と同じであるとは限りませんから, ある添え字の
集合 J' についてとしか言えません. 
 
> さて,
> T_pの元はひと項だけが小さい開集合になってるような直積集合の
> 有限個共通部分の任意個和集合で
> X_1×X_2…×X_(i1-1)×proj_i1^-1(U_i1)×X_(i1+1)×
> …×X_(i2-1)×proj_i2^-1(U_i2)×X_(i+1)×
> …X_(i3-1)×proj_i3^-1(U_i3)×X_(i3+1)×…
> ……
> :
> 
> と言う風な形をしてますよね。

 J は可算集合とは限りませんから, X_1, X_2 とかいった
表示はちょっとまずいのですが, 気分は分かります.
但し, proj_{i_1}^{-1} とかは, こういう積の表示を
するなら, 付けてはいけません.

  proj_β: Π_{α∈J} X_α → X_β

を用いるなら,

  S_p = { proj_β^{-1}(U_β) ; β ∈ J, U_β ∈ T_β }

を準開基とする位相が T_p です.

> 上記のs_iはTの元だから,∩_{i=1}^n s_i∈T(∵位相の定義)
> そこでs:=(∩_{i=1}^n s_iと置くと,f(s)∈T_pが言えればよい。
> fの定義よりf(s)=f_1(s)×f_2(s)×…という形になってますよね。

 s は A の部分集合です.

  f(s) = { f(x) ; x ∈ s }

は Π_{α∈J} f_α(s) とは異なります.

  s_i = f_{β_i}^{-1}(U_{β_i}), U_{β_i} ∈ T_{β_i}

であるとしたとき, f(∩_{i=1}^n s_i) とは

  f(x) = (f_α(x))_{α∈J}

がどんな条件を満たすものの集まりであるか, をお考え下さい.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp