工繊大の塚本です.

In article <86247441-2956-4bb7-a761-6615d528f5c8@d1g2000hsg.googlegroups.com>
cchikakoo <cchikakoo@yahoo.co.jp> writes:
> もう一度考えて直してみて,下記にまとめてみました。
> http://beauty.geocities.jp/noname45754/topology/continuous00.jpg
> http://beauty.geocities.jp/noname45754/topology/continuous01.jpg
> これで大丈夫ですかね。

拝見しました.

 (a) の証明で, T_A は位置づけが明確ではありません.
「全ての f_α が連続であるような位相 T_A があったとしよう」
と始める方が分かりやすいと思います.

さて, α を一つ決めたときに,

  T_{A,α} = { f_α^{-1}(t_α) ; t_α ∈ T_α }

とすれば, T_{A,α} は f_α が連続となるような最弱の位相です.
従って, T_A ⊃ T_{A,α} であり, 更に,

  T_A ⊃ ∪_{α∈J} T_{A,α}

です. (b) の証明のところで書かれているように

  S = ∪_{α∈J} T_{A,α}

ですから, T_A ⊃ S であり, T_A ⊃ σ(S) です.

そこで, T = σ(S) とすると, これは明らかに全ての
 f_α が連続であるような位相であって, 更に, その
ようなものの中で(集合として最小ですから)最弱のもの
になっています. 一意性はおっしゃる通り明らかです.

 (c) の (⇒) は T ⊃ T_{A,α} から T について
 f_α の連続性が言えますから, 良いですね.

逆向きの証明のところで,

  ∪_{b∈B'} b = ∪_{β∈J} ∩_{s∈S'_β} s

との変形をされていますが, これは如何でしょうか.
 β が J を動くのはおかしい.

これは分けて書いた方が分かりやすい.

  g^{-1}(t) = g^{-1}(∪_{b∈B'} b)
            = ∪_{b∈B'} g^{-1}(b)

ですから, 各 b ∈ B' について g^{-1}(b) ∈ T_Y
を言えば, g^{-1}(t) ∈ T_Y となる.

  b = ∩_{i=1}^n s_i   (s_i ∈ S)

で,

  g^{-1}(b) = g^{-1}(∩_{i=1}^n s_i)
            = ∩_{i=1}^n g^{-1}(s_i)

ですから, 各 s_i ∈ S について g^{-1}(s_i) ∈ T_Y
を言えば, g^{-1}(b) ∈ T_Y となる.

 s ∈ S なら, ある α について s = f_α^{-1}(t_α), t_α ∈ T_α
ですから,

  g^{-1}(s) = g^{-1}(f_α^{-1}(t_α))
            = (f_α○g)^{-1}(t_α).

よって, 任意の α について f_α○g が連続なら,
 g^{-1}(s) ∈ T_Y となる. つまり, 各 s_i ∈ S について,
 g^{-1}(s_i) ∈ T_Y. これで g^{-1}(t) ∈ T_Y が示せた
ことになります.

 (d) の証明で,

  ∀t ∈ T, f(t) ∈ f(A) …(1) は明らかなので f(t) ∈ t_p のみを示せばよい。

とありますが, これは,

  ∀t ∈ T, f(t) ⊂ f(A) …(1) は明らかなので f(t) ⊂ t_p のみを示せばよい。

なのでしょうが, それでは f(t) ⊂ f(A) ∩ t_p が言えるだけ
なので, 不十分です. ちょうど f(t) = f(A) ∩ t_p が成立する
ような t_p の存在を示さなければなりません.

直積位相の生成元の表示で A が書かれていますが
そこは X_α ですね.

 (d) については t = ∪_{b∈B'} b としたとき,

  f(t) = f(∪_{b∈B'} b) = ∪_{b∈B'} f(b)

ですから, 各 b ∈ B' について f(b) ∈ T_z である
ことを言えば十分です.

 f(b) = f(∩_{i=1}^n s_i) ∈ T_z であることを
示すことになります.

但し, f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B) ですが, 一般には
 f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) とは限りません. 御注意
下さい.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp