工繊大の塚本と申します.

問題において, 何が固定されていて, 何が色々と変わるのか,
を明確にしておかないと, 通じません.

In article <edb47v$r0t$1@nntp.tiki.ne.jp>
"N.S." <asimov@mailtag.com> writes:
> A を実対称行列、X をベクトル、X と直交する単位ベクトルを
> e とします。

 X が固定されていて, e が色々と変わる, という理解で良い
ですか.

> <X, e> を X と e の内積とします。

これは一般に <u, v> でベクトル u, v の内積を表すということ
でしょうから, そう最初に書いておくと良いでしょう.

> <X, e> = 0 なら <AX, e> = 0 のとき
> AX = aX となる実定数 a がある

任意の単位ベクトル e について「<X, e> = 0 なら <AX, e> = 0」
となることが「AX = aX となる実定数 a がある」ための必要十分
条件である, ということであれば,

> の必要条件の証明ができません。

必要条件の方は, AX = aX ならば <AX, e> = <aX, e> = a<X, e>
ですから, むしろ当たり前です. 十分条件の方は, 先ず X が
0ベクトルのときは任意の実数 a について AX = aX = 0 ですから
当然成立していることに注意すれば, X が 0ベクトルでないときに
示せば良いことが分かります. X = x e_1 となる単位ベクトル e_1
を取ります. ここで x は 0 でない実数です. A が n次の正方行列
であれば, 考えているベクトルは n次の(実)数ベクトル空間 R^n の
元ですが, e_1, e_2, ... , e_n が R^n の正規直交基底となるよう
に単位ベクトル e_2, e_3, ... , e_n を取ります.

  <X, e_2> = <x e_1, e_2> = x <e_1, e_2> = 0, よって, <AX, e_2> = 0

同様にして, <AX, e_3> = 0, ... , <AX, e_n> = 0 です. 結局,
 AX を正規直交基底 e_1, e_2, ... , e_n の一次結合

  AX = c_1 e_1 + c_2 e_2 + … + c_n e_n

として表すと

  <AX, e_2> = c_1 <e_1, e_2> + c_2 <e_2, e_2> + … + c_n <e_n, e_2>
            = c_2
  etc.

ですから, その e_2, e_3, ... , e_n の係数 c_2, c_3, ... , c_n
は 0 であり, AX = c_1 e_1 = (c_1/x) x e_1 = (c_1/x) X と書ける
ことになります. つまり, a = c_1/x として, AX = aX になります.

それとも御質問の趣旨は上とは異なるものでしょうか.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp