∫[0..πi/2]f(z)dz=∫［y=0,π/2］(-v(0,y)+iu(0,y))dyの変形

いつも大変お世話になっております。

f(z)=sin(2z)
={1/(2i)}{exp(2iz)-exp(-2iz)}
=(1/2){exp(y)+exp(-2y)}sin(2x)+i(1/2){exp(y)-exp(-2y)}cos(2x)
より
u(x,y)=(1/2){exp(y)+exp(-2y)}sin(2x)
v(x,y)=(1/2){exp(y)-exp(-2y)}cos(2x)
とすると
∫[0..πi/2]f(z)dz=∫［y=0,π/2］(-v(0,y)+iu(0,y))dy
と書けるのは何故でしょうか?

積分範囲は実方向には0から0で虚方向には0からπi/2というのは分かるのですが
∫[0..πi/2]f(z)dzの時,z=0ならx=y=0,z=πi/2ならx=0,y=π/2なので
∫[0..πi/2]-v(0,y)+iu(0,u)d(x+iy)
と書けこれからどうして
∫［y=0,π/2］(-v(0,y)+iu(0,y))dy
と変数変換できるのでしょうか?
dz=?dyはどのように書けますでしょうか?


吉田京子