工繊大の塚本です.

In article <fa4627ad-039f-4e98-9ad8-e241655edf8f@x6g2000prc.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> f(z)=sin(2z)
> ={1/(2i)}{exp(2iz)-exp(-2iz)}
> =(1/2){exp(y)+exp(-2y)}sin(2x)+i(1/2){exp(y)-exp(-2y)}cos(2x)
> より
> u(x,y)=(1/2){exp(y)+exp(-2y)}sin(2x)
> v(x,y)=(1/2){exp(y)-exp(-2y)}cos(2x)
> とすると

いや, f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + i v(x, y) が
何であろうと,

> ∫[0..πi/2]f(z)dz=∫［y=0,π/2］(-v(0,y)+iu(0,y))dy
> と書けるのは何故でしょうか?

線積分の定義から明らかではありませんか.
 
> 積分範囲は実方向には0から0で虚方向には0からπi/2というのは分かるのですが
> ∫[0..πi/2]f(z)dzの時,z=0ならx=y=0,z=πi/2ならx=0,y=π/2なので
> ∫[0..πi/2]-v(0,y)+iu(0,u)d(x+iy)
> と書け

 z = 0 + iy  (y ∈ [0, π/2]) が積分路ですから,
書くなら d(0 + iy) ですね.
中身は u(0, y) + i v(0, y) です.

> これからどうして
> ∫［y=0,π/2］(-v(0,y)+iu(0,y))dy
> と変数変換できるのでしょうか?
> dz=?dyはどのように書けますでしょうか?

  ∫_0^{π/2} (u(0, y) + i v(0, y)) d(0 + iy)
  = ∫_0^{π/2} (u(0, y) + i v(0, y)) i dy
  = ∫_0^{π/2} (i u(0, y) - v(0, y)) dy

となるというだけです.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp