いつも大変お世話になっております。
プリント配布からの問題です。

Let R be a ring with more than one element such that for each nonzero
a∈R there is a unique b∈R such that aba=a .Prove
(1) R has no zero divisors.
(2) bab=b.
(3) R has an identity.
(4) R is a divison ring.

という問題です。

(1)については0≠a,a'∈Rに対し,aa'=0とすると∃b,b'∈R,aba=a,a'b'a'=a'でaa'=0に代入し
て,abaa'b'a'=0と書け,ここから先に進めません。
どのようにすればいいのでしょうか?

(2)についてはbab=babab(∵a=aba). よってbab(1-ab)=0(∵分配法則). よって,1-ab=0(∵a≠0,b≠0で
(1)よりbab≠0). よってab=1.
bab=b・1=b.

(3)については(2)での議論より,1∈Rが存在することが分かった。

(4)については斜体をなす事を示せという問題でしょうか?
これも(2)より,a≠0,b≠0なるa,b∈Rに対してはab=1と書けたのでaとbは単元。よってRは斜体。

となったのですがこれでいいでしょうか?

吉田京子