Re: 0≠a∈R:環ならaba=aなるb∈Rが一意的に存在する時,Rは整域である事を示せ
工繊大の塚本と申します.
In article <e8c8731d-b320-400e-a5b9-b84a38e8cb90@o36g2000yqh.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> Let R be a ring with more than one element such that for each nonzero
> a∈R there is a unique b∈R such that aba=a .Prove
> (1) R has no zero divisors.
> (2) bab=b.
> (3) R has an identity.
> (4) R is a divison ring.
division
> という問題です。
>
> (1)については0≠a,a'∈Rに対し,aa'=0とすると
> ∃b,b'∈R,aba=a,a'b'a'=a'でaa'=0に代入して,
> abaa'b'a'=0と書け,ここから先に進めません。
> どのようにすればいいのでしょうか?
aba = a となる b が unique であることが重要です.
a(b + a')a = aba + aa'a = a + 0a = a であり,
a' ≠ 0 とすると b ≠ b + a' で矛盾します.
> (2)についてはbab=babab(∵a=aba). よってbab(1-ab)=0(∵分配法則).
> よって,1-ab=0(∵a≠0,b≠0で(1)よりbab≠0). よってab=1.
> bab=b・1=b.
いや, 1 がなければ, bab = bab・1 とは書けません. 論点先取です.
1 の存在は仮定されていない ((3) で示すことが求められている)
ので, これでは証明になりません.
a(bab)a = (aba)ba = aba = a ですから, uniqueness より
bab = b です.
> (3)については(2)での議論より,1∈Rが存在することが分かった。
先に述べた通り, きちんと示す必要があります.
a ≠ 0 なる a について aba = a となる b を取り,
ab が 1 としての性質を満たすことを示すのでしょうね.
つまり, 任意の c について abc = cab = c. c ≠ 0 としても
良いでしょう.
abc に対して, d で abcdabc = abc となるものをとると,
abab = ab ですから, abcdababc = abc で, dab = d です.
abc = abcdabc = abcdc より ab(c - cdc) = 0 であり,
cdc = c ですが, (2) より dcd = c, 一方,
abc = d(abc)d = (dab)cd = dcd = c となります.
cab = c も示せるでしょうね.
> (4)については斜体をなす事を示せという問題でしょうか?
そうですね.
> これも(2)より,a≠0,b≠0なるa,b∈Rに対してはab=1と書けたのでaとbは単元。
> よってRは斜体。
ab が 1 としての性質を満たすことを示せたら, 後は
ba = ab となることを示せば良いでしょう.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp
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