ご回答大変ありがとうございます。

>> 厳密にすれば
>> σ:{E;Eは線分OAからの弧の長さ}→[0,2π);
：
> ではありません.

そうでしたか。これは失礼いたしました。

>> σの定義域は長さ,γはベクトルで
>> g:S→[0,2π);S∋∀γ|→g(γ):=∠(OA,γ)(=φ)とするとgは全単射
：
> 一々指摘しません.

すいません。大変失礼いたしました。

>> よって(9)の公式は厳密には
>> ∫_{R^d} f(x) dx = ∫_{S^{d-1}}(∫_0^∞ f(rγ) r^{d-1} dr) dσ(g(γ))
>> と書かれるべきなのですね。
> g って何ですか. 厳密に,

g:S→[0,2π);S∋∀γ|→g(γ):=∠(OA,γ)で定めた全単射写像の事です。
γを始点を原点,終点をS上の点とするベクトルの時,g(γ)をそのベクトルと線分OAとのなす角で定義しました。

>  ∫_{R^d} f(x) dx
>  = ∫_{R^d＼{O}} f(x) dx

ここで測度はルベーグ測度なのでm(O)=0なので上記の等号が成立すのですね。

>  = ∫_{S^{d-1}}(∫_0^∞ f(rγ) r^{d-1} dr) dσ(γ)
> です.

どうもありがとうございます。"同一視"で理解するようにします。