遅くなりまして申し訳ありません。


>>> だから, 右辺に x_i を使うなら, 左辺は b_k にしないと
>>> 意味を成しません.
：
> 全く違う値のものになる. それを同じ文字 x_i で書き表したのでは
> 混乱するだけです. だから, 左辺には b_k を用いて,
>  b_1 = 2, b_2 = 7, b_3 = 57, b_4 = 182, 等と Text では
> 書いてあるのです.

仰るとおりです。確かにx_iを両辺で使ったのでは混乱してしまいますね。

> この理屈が理解できない人とは普通に会話することも難しい.

大変失礼致しました。

>> 一行目は任意のkに対して必ずx^2≡-1(mod 5^{k+1})の解が存在する事を保証して
> その保証は実際に解を構成することでしかなされません.

下記のように
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop151_955_p137.JPG
具体的に解を構成せずに解の存在の保証を証明してみたのですがこれは間違いでしょうか?

>> それでは実際に具体的に解を求めていきましょう。
>> という意味の宣言みたいなもので書いたのですが,,,
> それなら "Then" などという意味不明の副詞を置くのではなく,
>  "Now we shall show that ..." 位の分かりやすい文章にしましょう.

大変ありがとうございます。
Now we shall show that x_0+5x_1+5^2x_2+5^3x_3+…+5^{k-1}x_{k-1} is a
solution of【0】.
Letting b_k∈S_k…【1】, we can write b_k∈(x_0+5x_1+5^2x_2+5^3x_3+…+5^{k-1}
x_{k-1})mod5^k⊂S_k…【2】
(where x_k∈{1,2,3,4})
として進めていけばいいのですね。

>>http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_...
>>http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_...
>> でOKだと思います。
>  b_k = x_0 + 5 * x_1 + 5^2 x_2 + \cdots + 5^{k-1} x_{k-1}
> とするのであれば, \ell_i は出てきませんし,
>  x_k = \ell_0 + 5 * \ell_1 + 5^2 \ell_2 + \cdots + 5^{k-1} \ell_{k-1}
> とするのであれば, b_k は出てきません.
> ちゃんぽんになっている, b_k = x_{k-1} + 5^{k-1} \ell_{k-1}
> という式は意味を成しません.
>  b_k = b_{k-1} + 5^{k-1} x_{k-1} とするか,
>  x_k = x_{k-1} + 5^{k-1} \ell_{k-1} とするかのどちらかです.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_vol5.JPG
では【2】の所でx_kが両辺に現れていて確かに意味不明ですね。

>> ただ???の箇所が分かりませんでした。ここの理由は何といえますでしょうか?
>  ((x_k)^2 + 1)/5^k + 2 x_k \ell_k ≡ 0  (mod 5) を解くと,
>  \ell_k ≡ - (2 x_k)^{-1} ((x_k)^2 + 1)/5^k となる,
> というだけです. 5^k/((x_k)^2 + 1) では分子分母が逆です.

すいません。これは失礼致しました。。

> # a ≠ 0 のとき, a x + b = 0 の解が
> # x = - a^{-1} b であるのは宜しいでしょうか.

はい大丈夫です。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_vol9.JPG
>> ・・> ∃(2・x_k)^{-1}∈1mod5
>> ではなく
>> ∃(2・x_k)^{-1}∈{0,1,2,3,4}
>> ですよね。
>> 0≦(2・x_k)^{-1}<5の範囲に取れるのは何と答えればよろしいでしょうか?
> 又混乱しているようですね.

すいません。

> x_k = \ell_0 + 5 \ell_1 + 5^2 \ell_2 + \codts + 5^{k-1} \ell_{k-1}
> において, \ell_0 = 2 としているので, 実は
> x_k ≡ 2  (mod 5) なので, 2 x_k ≡ 4 ≡ -1  (mod 5) であり,
> (2 x_k)^{-1} ≡ 4 ≡ -1  (mod 5) でもあります.
> # 4 * 4 = 16 = 1 + 5 * 3.
> 従って, 実は - (2 x_k)^{-1} ≡ 1  (mod 5) です.

なるほど。これは気づきませんでした。

2 x_k ≡ 4 ≡ -1(mod 5)さえ分かれば(2 x_k)^{-1} -1(mod 5)を使わずに
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_vol11.JPG
とできますね。

> { 0, 1, 2, 3, 4 } の中にとるべきは, \ell_k であって,
> \ell_k ≡ - (2 x_k)^{-1} ((x_k)^2 + 1)/5^k  (mod 5) でした.
> modulo 5 での代表元が { 0, 1, 2, 3, 4 } の中に取れるのは
> 当たり前でしょう.

はい。その通りですね。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Prop151_957.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Prop151.959.JPG
と確かめてみました。

> # 整数を 5 で割った余りが { 0, 1, 2, 3, 4 } のいずれかに
> # なるのは宜しいでしょうか.

これもDivision Algorithm Theoremからそのようになりますね。