"柳楽盛男" <nagira@d5.dion.ne.jp> wrote in message
news:3F90372D.C3985B8D@d5.dion.ne.jp...
> こんにちは．
>
> 群Gの元 a , b に対して[a, b] = a^(-1) b^(-1) a b を交換子と呼んで
> D(G) = { [a,b] | a, b ∈G }を交換子「群」というとどのテキストにも
> 記載されていますが、よく分からないので教えてください．
>
> I. D(G) はGの演算について群なのでしょうか？
> もしそうとすると D(G) がGの演算について閉じていないように思いますが
> 間違いでしょうか？つまり任意の [a, b] [c, d] が常に [x, y] になるように
> うまく x, y をとる方法があるはずですがよくわかりません．これがクリアできれ
ば
> 群になるのは理解できます。
>
> II. D(G) は交換子の演算について群なのでしょうか？
> この場合 [a,b],[c,d] ∈ Gですから[[a,b],[c,d]] ∈ D(G)で積について閉じてい
ますが
> D(G)の単位元をE，Gの単位元をeとすると
> [a, E] = [E, a] = a
> より直ちに E^(-1) a^(-1) E = eよって任意のGの元 a について E = a Eを満たす
ので
> 単位元 E は存在しないので 交換子の演算について群にならないと思いますが間違
いでしょうか？
>
> よろしく御教授お願いします．
>
> 柳楽@生物系
交換子群は交換子の集合ではなく交換子によって生成されるGの群（正規部分群とな
る。）です。
単位元はもちろんｅです、もちろんＧと同じ演算によって群です。部分群ですから
ね。。。

TOSHI