こんにちは．

群Gの元 a , b に対して[a, b] = a^(-1) b^(-1) a b を交換子と呼んで
D(G) = { [a,b] | a, b ∈G }を交換子「群」というとどのテキストにも
記載されていますが、よく分からないので教えてください．

I. D(G) はGの演算について群なのでしょうか？
もしそうとすると D(G) がGの演算について閉じていないように思いますが
間違いでしょうか？つまり任意の [a, b] [c, d] が常に [x, y] になるように
うまく x, y をとる方法があるはずですがよくわかりません．これがクリアできれば
群になるのは理解できます。

II. D(G) は交換子の演算について群なのでしょうか？
この場合 [a,b],[c,d] ∈ Gですから[[a,b],[c,d]] ∈ D(G)で積について閉じていますが
D(G)の単位元をE，Gの単位元をeとすると
[a, E] = [E, a] = a
より直ちに E^(-1) a^(-1) E = eよって任意のGの元 a について E = a Eを満たすので
単位元 E は存在しないので 交換子の演算について群にならないと思いますが間違いでしょうか？

よろしく御教授お願いします．

柳楽@生物系