kin-y wrote:
> 
> 当方は中学生相手に教えているのですが、中学生にも分かりやすい
> 説明はどうにかならないかを模索しているところです、

次のようなことを考えてみたのですがどうでしょうか。

底辺の縦横が a, b 高さが c の四角錐を考え、この体積
を V とします。下図(b)において、点Pを頂点とする四角錐です。
この四角錐をすっぽりと包む直方体を真上から見たのが図(a)です。

           b
+-----------------------+
|`       |           .  |
| `      |         .    |                 ----------
|  `     |h4     .      |                /         /
|   `    |     .        |               /    P    / |
|    `   |   .          |              /_________/  |
|  h1 `  | .     h3     | a            |         |  |
|------` P ------------ |              |         |  |
|       /               |              |         |  |
|     /  |  `           |            c |         |  |
|   /    |h2    `       |              |         | /
| /      |         `  . |              |_________|/ a
+-----------------------+                   b
(A)                                    (B)

するとこの直方体の体積は、問題の四角錐 V と、直方体の
それぞれ４つの側面を底辺とする、４つの四角錐との合計
であることが分ります。(この４つは形がいびつですが)
そこでこれら４つの四角錐の体積を V1, V2, V3 および V4
とします。(それぞれの高さが h1, h2, h3 および h4)

いま仮に四角錐の公式というものが存在するとして、それは

四角錐の体積 ＝ 底辺 X 高さ X 係数α

という形式をとると仮定します。すると以下が成立します。


 V = a*b*c*α  ----------------- 1
V1 = a*c*h1*α ----------------- 2
V2 = b*c*h2*α ----------------- 3
V3 = a*c*h3*α ----------------- 4
V4 = a*c*h4*α ----------------- 5
h1 + h3 = b    ----------------- 6
h2 + h4 = a    ----------------- 7
 V + V1 + V2 + V3 + V4 = abc --- 8

from 2, 4 and 6,
  V1 + V2 = a*c*α*(h1 + h3) = a*c*b*α = a*b*c*α  ---- 9

from 3, 5 and 7
  V3 + V4 = b*c*α*(h2 + h4) = b*c*a*α = a*b*c*α  ---- 10

よって,
  V = V1 + V2 = V3 + V4 = a*b*c*α --------------------- 11

しかし、8 から
  V + V1 + V2 + V3 + V4 = 3*a*b*c*α = abc  ------------ 12

→ α= 1/3
→ V = (1/3)*a*b*c
→ 四角錐の体積は、対応する四角柱の体積の1/3

この考え方の問題点は無論、四角錐の公式が存在して
底辺 X 高さ X 係数α という形式を取ると、無条件に
仮定していることですけど。

玉川厚徳