ご回答誠に有難うございます。

>> Theorem3.4の証明についての質問なのですが
> 岩波講座 現代数学の基礎「数論１」加藤和也・黒川信重・斎藤毅著
> の第３章の定理 3.4 の証明については, 別 thread で議論しました.

そうでした。書きミスでした。失礼いたしました。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/P093.JPG
> 定理 3.8 の証明の部分を問題にされているのでしょう.

その通りでございます。

>> N=2とすると,ζ_2=exp(2πi/2)、そしてχは自明な群同型写像だというのだから
>> Z_2^×={1mod2}∋1mod2→χ(1mod2):=1∈C^×…(*)
>> と書けると思います。
>> この時,N〓{0}∋r:偶数 に於いて,
>> L(r,χ)=1/(r-1)!(-2πi/2)^r・1/2Σ_{a∈Z_2^×}χ(a)h_r(ζ_2^a)
> これは定理 3.4 ですね.

はい。L(r,χ)=1/(r-1)!(-2πi/2)^r・1/2Σ_{a∈Z_N^×}χ(a)h_r(ζ_N^a)にN=2を代入しただけです
ね。

>> =1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1)h_r(exp(2πi/2)^1)
>> =1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1)h_r(exp(2πi/2))
>> =1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1)h_r(exp(πi))
>> =1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1)h_r(cosπ+isinπ)) (∵Eulerの公式)
>> =1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1)h_r(-1)
> \chi(1) = 1 なのですから, これで
>  L(r, \chi) = (1/(r-1)!) (- 2 \pi i / 2)^r (1/2) h_r(-1)
> となるわけです.

そうですね。

>> =1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1) (r-1)!(-1/(2πi))^rΣ_{n∈Z}1/(1/2+n)^r
> は
>> (∵h_r(t)の定義)
> ではなくて, h_r(t) の命題 3.3 による書き直しを使っているわけで,
> 定理 3.8 の証明には関係ありません.

そうでしたか。

>> =χ(1)Σ_{n∈Z}1/(1/2+n)^r
>> =1・Σ_{n∈Z}1/(1/2+n)^r (∵χの定義(*))
>> =Σ_{n∈Z}1/(1/2+n)^r.
>> 即ち, L(r,χ)=Σ_{n∈Z}1/(1/2+n)^r
> ここまで, 不要です.

了解です。

>> 一方、
>> L(s,χ)=Σ{n=1}^∞ χ(n)/n^s=χ(1)/1^s+χ(3)/3^s
>> +χ(5)/5^s+…(∵χの定義(*))
>> Σ_{n=1,nは奇数}^∞ 1/n^s=ζ(s)-Σ_{n=1}^∞1/(2n)^s
>> (∵ζ関数の定義)
>> =(1-1/2^s)ζ(s).

すいません。
ζ(s)-Σ_{n=1}^∞1/(2n)^s=ζ(s)-Σ_{n=1}^∞1/(2^sn^s)
からどうして
=(1-1/2^s)ζ(s).
と変形できるのでしょうか?

>> 即ち,L(s,χ)=(1-1/2^s)ζ(s)
> そう, 特に, 正の偶数の r についても
>  L(r, \chi) = (1 - 1/2^r) \zeta(r)
> ですから,

そうですね。今,s∈{s∈C;Re(s)>1}でしたから勿論,rについてもこのように書けますね。


>> これらからどのようにして
>>ζ(r)=1/(r-1)!・1/(2^r-1)・(2πi)^r ・h_r(-1)/2
>> に持っていけるのでしょうか?
>  L(r, \chi)
：
>  = (1/(r-1)!) (1/(2^r-1)) (2 \pi i)^r (1/2) h_r(-1)
> となります. # (-1)^r = 1 です.

納得です。