ご回答大変有難うございます。

>>> だから |K_1(t) - K_0(t)| ≦ 1/3 は示しておかないと いけませんね.
>> これは http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/Koch_20090418.jpg より
>>  max{|K_1(t)-K_0(t)|;0≦t≦1}=√3/6≦1/3=1/3^1,
>> max{|K_2(t)-K_2(t)|;0≦t≦1}=√3/18≦1/9=1/3^2,
>> max{|K_3(t)-K_2(t)|;0≦t≦1}=√3/54≦1/27=1/3^3, ： より
>> max{|K_{j+1}(t)-K_j(t)|;0≦t≦1}≦1/3^j.
> いや, |K_1(t) - K_0(t)| ≦ 1/3 が分かれば, 以下は
> 相似だから良いのですが, |K_1(t) - K_0(t)| が
> 最大になる t の値が何であるか, そこで |K_1(t) - K_0(t)| が
> どういう値になるか, はきちんと議論しておかないといけません.

K_0は0世代,K_1は1世代なので|K_1(t) - K_0(t)|=0(0≦t<1/3の時),
√3(t-1/3)(1/3≦t<1/2の時),√3(2/3-t)(1/2≦t<2/3の時),0(2/3≦t≦1の時)
となりますね。それでt=1/2の時に最大値.√3/6を採りますね。
このような議論ではダメなのでしょうか?

>> ところでK~(t)が[0,1]で連続である事はどうすれば示せるのでしょうか?
> (R^2 に値をとる)連続関数列の一様収束極限は連続関数です.

連続関数列{K_j(t)}は一様Cauchy列をなすから一様収束し
「連続関数列の一様収束する時,その極限関数も連続」を使えばいいのですね。

>> regularityを満足するとも言ってますよね。
> 単に連続というだけでなく, a regularity assumption that
> takes the form of a Lipschitz condition を満たす,
> つまり, 正確な形式的記述としては Lipschitz 条件と
> して与えられる滑らかさについての条件を満たしている,
> というわけです.

これはK~(t)は微分可能(滑らか)でLipschitz条件を満たしている??
これはどういう意味でしょうか?

> 測度空間の regularity とは関係ありません. ここは
> 一般名詞としての regularity です.

"正確な形式的"という意味ですね。

>> 『我々は今,精密にln2/ln3でのLipschitz条件をCantor-Lebesgue関数が満足する
>> という証明でのように同じ状況が分かる』 「Cantor-Lebesgue関数はln2/ln3で
：
> 何も不思議はありませんが.

そうでした。曲線の長さとばかり思い込んでました。

あと,{K_j(t)}が絶対収束する事はどうすれば示せますでしょうか?