いつも大変お世話になっています。
プリント配布からの質問です。

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p337_006.jpg
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p339_002.jpg
Koch曲線を調べていて幾つか質問があります。

『単位区間K_0=[0,1]を考えよ,そしてそれはxy平面のx軸に横たわっている。その時,Figure3のような多辺形の経路K_1を考えよ,そ
してそれは長さ1/3の4本の線分と長さが等しい。
0≦t≦1をK_1(t)とすると,K_1のパラメータ表示は定速度を持つ。言葉を変えるとtは0から1/4まで移動する。点K_1(t)は最初(最
左)の線分上を動く。tが1/4から1/2まで動くに連れて,点K_1(t)は2番目の線分上を動く,など。特に,我々は0≦l≦4に於いてK_1
(l/4)がK_1の5つの頂点に対応する事が分かる。
　構築の第二ステージでは我々は第一ステージでの各線分を多辺形経路の対応にすり替えて,前手順を繰り返す。するとFigure3のようなK_2での多
辺形を得る。それは長さ1/9=3^-2の線分16=4^2本を持つ。我々は定速度を持つK_2のパラメータ表示K_2(t)(0≦t≦1)を選ぶ。
0≦l≦4^2に於いて,K_2(l/4^2)がK_2の全頂点を与える事とK_1の頂点はK_2に
0≦l≦4に対してK_2(l/4)=K_1(l/4)
という具合に含まれる事を観察せよ。
この手順を無限に繰り返すと,連続多辺形曲線列{K_j}(但し,K_jは長さ3^-jの4^j本の線分からなる)を得る。もし,K_j(t)
(0≦t≦1)が定速度を持つK_jのパラメータ表示ならその頂点はきっかり点K_j(l/4^j)上にある。そして,
0≦l≦4^jに於いてj'≧jならK_j'(l/4^j)=K_j(l/4^j)である。
　j→∞の時のその極限で多辺形の線らK_jはvon Koch曲線に近づく。本当に,
任意の0≦t≦1,j≧0に対して|K_{j+1}(t)-K_j(t)|≦3^-jとなる。』
これは第jステージにはひとピースが3^-jになりますね。

『K_J(t)=K_1(t)+Σ_{j=1}^{J-1}(K_{j+1}(t)-K_j(t))と書けるので
これの評価は級数
K_1(t)+Σ_{j=1}^∞(K_{j+1}(t)-K_j(t))
がK~のパラメータ表示である連続関数K~(t)に絶対一様収束する事を示す。』
K~はKoch曲線の意味でしょうか?
K_{j+1}(t)-K_j(t)は正だからlim_{n→∞}Σ_{j=1}^n (K_{j+1}(t)-K_j(t))が一様収束する事を確認
すればいいですね。
一様収束の定義は「0<∀ε∈R,∃L∈N;(L<n,x∈E⇒|f(x)-f_n(x)|≦ε)」ですが
0<∀ε∈Rに対し,Lをどのように採ればいいのでしょうか?

『連続性に加え関数K~(t)はCantor-Lebesgue関数の時のようにLipschitz条件を満足する。,』
ええと,これも|K~(t_1)-K~(t_2)|≦M|t_1-t_2|なる0<M∈Rが存在するのですね。
Mとしてどんな値が採れますでしょうか?

吉田京子