Yuzuru Hiraga <hiraga@slis.tsukuba.ac.jp> wrote in message news:<4191B981.1000703@slis.tsukuba.ac.jp>...
> 先日授業の演習で：
> 　「級数 Σ|a_n| が収束するなら Σa_n も収束することを示せ」
> という問題をやったのですが

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んな≪たわいもないこと≫に時間を費やすなよ、なっ！

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帰謬法を使っても「簡単に」証明できるが、

次の方法が、多分、最も簡単だろう：−

?[k=1,n]{a(k)}＝S(n),

?[k=1,n]{|a(k)|}＝Z(n)  とおく。

m＜n ならば、

|S(n)−S(m)|＝|?[k=m+1,n]{a(k)}|≦?[k=m+1,n]|{a(k)}|＝|Z(n)−Z(m)|

よって、数列の収束に関してのコーシーの判定法により、
Z(n)が収束するのであれば、S(n)も収束する．■