どうもありがとうございます。



>> f_n≧0 μ-a.e だから測度μにおいてμ({x∈Ω;f_n(x)<0})=0と書けると思います。
>>
> はい.
> なお, 測度零のところで f_n の値を変えても積分は変化しませんし,
> 収束先も測度零のところを除いて一致しますから, f_n ≧ 0 としても
> 構いません.

なるほど。特にこの条件は必要な訳ではないんですね。
(出題者が単に解答者を惑わす為?)


>> 一方,lim[j→∞]f_k^j(x)=f_k(x) …① なる 非負な単調増加の可測単関数列{f_k^j}が採れる(∵??)
> ここを問題とされているのですね.

はい。さようです。


>> そこで,s_j(x):=Σ[k=1..j]f_k^j(x) …②とすると, s_jは単調増加な非負単関数となる。 この時,lim[j→∞]s_j(x)=f(x)となる
>> (∵∀j∈Nに対し,s_j(x)≦f(x)なのでlim[j→∞]s_j(x)≦f(x). 他方,
>> ∀m∈Nに対し,lim[j→∞]s_j(x)≧lim[j→∞]Σ[k=1..m]f_k^j(x) (∵jを十分大きくすればいずれ
>> j>m) =Σ[k=1..∞]f_k(x)(∵①).
> これは「=Σ[k=1..m]f_k(x)(∵①).」ですね.

ありがとうございます。

> 定理10.20を認めれば, そういうことになりますね.

分かりました。


>> そこで質問なのですが上記の 「非負な単調増加の可測単関数列{f_k^j}が採れる」理由が分かりません。 どうして採れるのでしょうか?
> これは御参考の本にも必ず書いてある筈ですが,
>  f ≧ 0 なる関数は, 非負な単調増加の単関数列 f_n の極限となる.
>  更に, f が可測であれば, f_n も可測に取れる.

やはりそのような命題があったのですね。ありがとうございます。いまだ発見できませんで。


> が成り立つからです. 実際, 1 ≦ i ≦ n 2^n の自然数 i について,
>  E_{n, i} = { x | (i - 1)/2^n ≦ f(x) < i/2^n }
> とおき,
>  F_n = { x | f(x) ≧ n }
> として,
>  f_n = Σ_{i=1}^{n 2^n} (i - 1)/2^n 1_{E_{n, i}} + n 1_{F_n}

ありがとうございます。このようにfの定義関数列(determining sequence)を採れるのですね。
重宝します。


> とすれば良いことが分かります. ここで 1_A は A の特性関数です.
> 要するに, 値の 0 ≦ f(x) < n の間を 1/2^n 刻みに区切って,
> f(x) がそこに入る集合上で一番小さな値 (i - 1)/2^n の一定値とし,
> n ≦ f(x) となるところでは, n の一定値とした関数を f_n と
> したわけです.

確かにf_n = Σ_{i=1}^{n 2^n} (i - 1)/2^n 1_{E_{n, i}} + n 1_{F_n}は単関数になってます
ね。


>  これが単調増加で f に収束することは容易に示せます.

n→∞にするとf_n→fになるんですよね。
すいません。どうやって示せますでしょうか?