ご回答誠に有難うございます。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop201_3__0...
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop201_4__0...
>> と一応最後まで行けたのですが
>> (3)の上から3行目の分配法則は
>> ζ_{amodN}(s)が絶対収束しないと使用できませんよね。
> Re(s) > 1 で考えています.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/P094.JPG
では「sを複素数として考えると」と述べてあってRe(s)>1とするとは述べてないようなのですが。

>> (4)でも同様でΣ_{n=1}^∞ 1/(a+N)^sが絶対収束する事は
> Hurwitz \zeta function \zeta(s, a/N) は Re(s) > 1 では
>  \sum_{n=0}^\infty 1/(a/N + n)^s
>   = N^s \sum_{n=0}^\infty 1/(a + n N)^s
> です.

ありがとうございます。n=1からではなくn=0からでした。大事な事でした。

>> どうすれば分かりますでしょうか?
> こちらも Re(s) > 1 での話です.

こちらめ明記されてませんが暗黙の了解でRe(s)>1となっていたのですね。