工繊大の塚本です.

In article <05a8d077-e9e9-4cbe-9899-9879eef4940b@c20g2000vbv.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop201_3__02.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop201_4__02.jpg
> と一応最後まで行けたのですが
> (3)の上から3行目の分配法則は
> ζ_{amodN}(s)が絶対収束しないと使用できませんよね。

 Re(s) > 1 で考えています.

> (4)でも同様でΣ_{n=1}^∞ 1/(a+N)^sが絶対収束する事は

 Hurwitz \zeta function \zeta(s, a/N) は Re(s) > 1 では

  \sum_{n=0}^\infty 1/(a/N + n)^s 
   = N^s \sum_{n=0}^\infty 1/(a + n N)^s

です.
                        
> どうすれば分かりますでしょうか?

こちらも Re(s) > 1 での話です.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp