ご回答大変ありがとうございます。

>> [問] Φ:R^n＼{0}→(0,∞)×S^{n-1}; x|→Φ(x):=(r,γ)を同相写像とする。
>> (0,∞)上のBorel集合体B((0,∞))上の測度ρ_nをρ_n(F)=∫_F r^{n-1}dr…①とし,
>> Borel集合体B(R^n)においてΦ(B(R^n))上の測度をν_nとし,
> ν_n は R^n＼{0} の Lebesgue measure の「押し出し」では
> ないのですか.

そうですね。f:X→YでMがX上のσ集合体の時,f(M)もY上のσ集合体となるならf(M)をMのfによる"押し出し"と呼ぶのですね。
ν_n(Φ(E)):=μ_n(E) (for ∀E∈B(R^n))でした。

>> ν_n=ρ_n×σ_n…②なるS^{n-1}上の測度σ_nが存在するとする。
>> この時,fがB(R^n)上の非負Borel可測関数かf∈L^1(R^n,B(R^n),μ_n) (但し,μ_nはB(R^n)上のBorel測度)
> μ_n は R^n の Lebesgue measure ではないのですか.

m_nをR^nのルベーグ測度とする時,μ_nをE∈B(R^n)に対して,μ_n(E):=m_n(E)でBorel測度μ_nを定義したと説明があ
りますが。

> 勿論, その Borel 集合体への制限を考えているという
> ことでしょうが,

そのようです。

>  単に Borel 測度というのは変でしょう.

そうです。仰るとおりです。説明不足でした。

>> ならば ∫_{R^n} f(x)dx=∫_0^∞(∫_{S^{n-1}}f(rγ))r^{n-1}dσdr…(*)が成立する。
>> を示しています。
>> [証] E∈B(R^n)の特性関数χ_Eに対し,χ_E(Φ^-1(r,γ))=χ_{Φ(E)}(r,γ)…③
>> と書けるのでdμ_n:=dxと表す事にすれば (∵dxはdm_n(x)(但しm_nはn次元ルベーグ測度)と書ける)
> だから, μ_n は Lebesgue measure (の Borel 集合体への
> 制限)で,

そうですね。

>> ∫_{R^n} f(x))dx=∫_{R^n} f(x)dμ =∫_{R^n} χ_E(x)dμn =μ_n(E)(∵特性関数の積分の定義) =ν_n(Φ(E))(∵③)

ここは③が理由ではなくν_nの定義から等号成立でした。

> ν_n はその「押し出し」 Φ_* μ_n ですね.

はい。


>> =∫_{(0,∞)×S^{n-1}}χ_{Φ(E)}(r,γ)dν_n.
>> =∫_{(0,∞)×S^{n-1}}χ_{Φ(E)}(r,γ)r^{n-1}drdσ_n(∵①,②)
：
> というだけでそこは良いでしょう.

なるほど。そうですね。Fubiniの定理からそうなりますね。納得です。

>> ここを突破すると後はお決まりのように単関数,MCT,f=f^+-f^-と拡張していけます。
> 問題ないでしょうね.

どうもありがとうございます。